[열역학] 6.6 내부에너지, 열용량과 엔트로피 (Statistical)
Chapter 6에서는 통계 열역학(Statistical Thermodynamics)에 대해 다루고 있다. 지난 포스팅에서는 통계 열역학에서 대단히 중요한 개념인 Ensemble(앙상블)에 대해 다뤄보았다. 앙상블은 미시적인 분자 단위에서 여러 분자들이 모여 있는 macroscopic한 세계로 확장시켜주는 하나의 도구였다. 이를 이용하면, 계의 여러 열역학적 상태함수들을 계산할 수 있게된다.
따라서 오늘 포스팅에서는 앙상블의 개념을 이용하여 어떤 계의 내부에너지(Internal enrgy)와 엔트로피(Entropy)를 통계적으로 접근해보려 한다. Chapter 1에서 열역학 제 1법칙과 2법칙을 다루면서 내부에너지와 엔트로피 등을 열역학적으로 접근해보았다면, Chapter 6에서는 통계역학적으로 접근하고 이 둘이 동일함을 보이려고 한다. 그러니, 열역학적 개념이 부족하거나 partition function 등 통계역학적 개념이 익숙하지 않다면, 본 포스팅을 읽기 어려울 것 같다. 앞선 포스팅들을 읽어보기를 조심스레 권장해본다.
Chapter 1 주요
2025.06.18 - [전공 공부정리/열역학] - [열역학] 1.2 일과 열, 열역학 제 1법칙
2025.06.20 - [전공 공부정리/열역학] - [열역학] 1.4 열용량(Heat Capacity)
Chapter 6 주요
2025.10.09 - [전공 공부정리/열역학] - [열역학] 6.3 Molecular Partition Function - 병진, 회전, 진동, 전자 운동
2025.10.09 - [전공 공부정리/열역학] - [열역학] 6.4 분자 에너지(Molecular Energies)- 병진, 회전, 진동, 전자 운동
2025.11.01 - [전공 공부정리/열역학] - [열역학] 6.5 앙상블(Ensemble) - 정준 앙상블(Canonical ensemble)
그럼 시작해보자~~!!
1. 내부에너지(Internal energy)
지난 포스팅에서 우리는 계의 평균에너지 $ \langle E \rangle $ 를 canonical ensemble으로부터 구할 수 있었다. Canonical partition function $ Q $ 를 포함하여 다음과 같이 표현된다.
$$ \langle E \rangle = -\frac{1}{Q} \left(\frac{\partial Q}{\partial \beta}\right)_V = -\left(\frac{\partial \ln Q}{\partial \beta}\right)_V $$
이 평균에너지는 내부에너지와 같고(단, $ U(0) $ : ground state energy. 즉, T=0K에서 내부에너지)
$$ U(T) = U(0) + \langle E \rangle $$
따라서, 내부에너지는 canonical partition function을 이용하여 다음과 같이 표현된다.
$$ U(T) = U(0) -\left(\frac{\partial \ln Q}{\partial \beta}\right)_V $$
Canonical ensemble은 interacting molecules도 다루므로, 위 식은 분자들이 dependent/independent 여부와 상관없이 적용할 수 있다.
물론, independent한 경우, canonical partition function은 지난 포스팅에서 indistinguishability에 따라 다음과 같이 계산했다.
$$ \text{Distinguishable, independent molecules:} \;Q = q^N $$
$$ \text{Indistinguishable, independent molecules:} \;Q = \frac{q^N}{N!} $$
위 두 가지 경우의 canonical partition function을 내부에너지 식에 대입해보자. 두 경우 모두 다음식을 얻는다.
$$ U(T) = U(0) -N\left(\frac{\partial \ln q}{\partial \beta}\right)_V $$
따라서 independent molecules의 내부에너지는 위와 같이 주어진다.
1.1 내부에너지의 contribution
여기서 우리는, molecular partition function이 병진(Translational), 회전(Rotational), 진동(Vibrational), 전자(Electronic)의 4가지 mode에 대한 contribution들의 곱과 같다는 사실을 알고 있다.
$$ q = q^t q^r q^v q^e $$
이를, 위 식에 대입하면 내부에너지에 대해 다음의 결론을 얻는다.
$$ U = U_t + U_r + U_v + U_e $$
즉, 계의 내부에너지는 4가지 mode 각각의 에너지 contribution 합과 같다는 결론을 도출할 수 있다. 이전에 molecular partition function 및 energy 포스팅에서 각 contribution들을 대단히 자세히 다룬적 있다. 위 식을 살펴보면, 계의 내부에너지 식은 molecular energy를 계산하는 식에 N을 곱한 것과 같다는 사실을 확인할 수 있다. (즉, independent한 경우) 따라서, 이상기체(perfect gas)의 경우, 앞선 포스팅에서 계산한 molecular energy에 $ N $을 곱해 각 mode에 해당하는 내부에너지 contribution을 계산할 수 있다. 이를 정리하면 다음과 같다. (Molecular energy의 유도과정이 궁금하다면, 여기를 참고하자.)
$$ \begin{align}
\text{Translational: }&\;\; U_t = \frac{3}{2}NkT = \frac{3}{2}nRT \\[10pt]
\text{Rotational(at high T): }&\;\; U_r = NkT = nRT \;\;\; \text{ (linear polyatomic)} \\[10pt]
&\;\;U_r = \frac{3}{2}NkT = \frac{3}{2}nRT \;\;\; \text{(non-linear polyatomic)} \\[10pt]
\text{Vibrational: }&\;\; U_v = \frac{hc\tilde{\nu}}{e^{\beta hc\tilde{\nu}}-1} \\[10pt]
&\;\; U_v = NkT = nRT \;\;\; \text{(at high T)} \\[10pt]
\text{Electronic: }&\;\;\; U_e = 0
\end{align} $$
여기서 $ k $는 볼츠만 상수(Boltzmann constant)로, 기체상수 $ R $, 아보가드로 수 $ N_A $와 다음의 관계를 갖는다. 또한 $ NkT = nRT $로부터 우리가 흔히 알고 있는 이상기체 상태방정식 $ PV=nRT =NkT $로 표현될 수 있다는 사실을 기억하자.
$$ k = \frac{R}{N_A} = 1.380649 \times 10^{-23} J/K$$
위 계산으로부터, monoatomic한 이상기체의 내부에너지는 1개 원자로 구성된 분자이므로 rotational, vibrational, electrohnic contribution이 0이 되어 translational만 기여하게 된다. 따라서 다음과 같이 주어진다.
$$ U_{tot} = U_t + U_r + U_v + U_e = \frac{3}{2}NkT $$
Diatomic한 이상기체의 내부에너지는 high T에서 다음과 같을 것이다. (Vibrational temperature는 대단히 높아서, rotational 항만 고온근사할 수 있다) 분자 내 원자가 2개이고, 선형이므로 Vibrational mode의 자유도는 1이다. 따라서 내부에너지는 다음과 같다.
$$ U_{tot} = U_t + U_r + U_v + U_e = \frac{5}{2}NkT + \frac{hc\tilde{\nu}}{e^{\beta hc\tilde{\nu}}-1} $$
2. 열용량 (Heat Capacity)
열역학적으로 열용량(heat capacity)는 온도 1K를 올리는데 필요한 열량을 말한다. 열용량은 정적(Constant Volume)일 때는 정적열용량($ C_V $), 정압(Constant Pressure)일 때는 정압열용량($ C_P $)로 다음과 표현할 수 있었다.
$$ C_V = \left( \frac{\delta q}{dT} \right)_V
= \left( \frac{dU + P dV}{dT} \right)_V
= \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V $$
$$ C_P = \left( \frac{\delta q}{dT} \right)_P
= \left( \frac{dU + P dV}{dT} \right)_P
= \left( \frac{d(U + PV)}{dT} \right)_P
= \left( \frac{\partial H}{\partial T} \right)_P $$
우리는 내부에너지 $ U $ 를 계산했으므로, 정적열용량을 따져보자. 위에서 계산한 내부에너지를 위식에 대입하자. 그러면, 각 운동 mode에 대한 정적열용량을 얻을 수 있다.
$$ \begin{align}
\text{Translational: }&\;\; C_{V, t} = \frac{3}{2}Nk \\[10pt]
\text{Rotational(at high T): }&\;\; C_{V, r} = Nk \;\;\; \text{ (linear polyatomic)} \\[10pt]
&\;\; C_{V, r} = \frac{3}{2}Nk \;\;\; \text{(non-linear polyatomic)} \\[10pt]
\text{Vibrational: }&\;\; C_{V, v} = Nk \left( \frac{\theta_v}{T} \right)^2 \frac{e^{\theta/T}}{(e^{\theta/T}-1)^2 }\\[10pt]
\end{align} $$
여기서 주의할 점은, polyatomic 분자의 경우 vibrational mode는 자유도를 $ 3N - 5 $ 혹은 $ 3N - 6 $을 가지므로, 정적열용량은 다음과 같이 계산되어야 한다.
$$
(C_{V,v})_{\text{tot}} = \sum_{i=1}^{3N-6 \text{ or } 3N-5} (C_{V,v})_i
$$
여하튼 이러한 사실을 바탕으로, 계의 정적열용량을 계산할 수 있다. 예시로 diatomic molecule에 대해서 정적열용량은 다음과 같이 표현될수 있다.
$$ \begin{align*}
C_{V,\text{tot}} &= C_{V,t} + C_{V,r} + C_{V,v} \\[10pt]
&= \frac{5}{2}Nk + Nk \beta^2 (hc\tilde{\nu})^2 \frac{e^{\beta hc\tilde{\nu}}}{(e^{\beta hc\tilde{\nu}} - 1)^2}
\end{align*} $$
3. 엔트로피 (Entropy)
우리는 앞선 포스팅에서 자발성, 비가역성, 클라우지우스 부등식 등을 다뤘고, 이를 통해 엔트로피(Entropy) 를 정의해보았다. 자연계에서 일어나는 대부분의(모든) 과정은 비가역적 변화이고, 이 비가역성의 크기, 즉 에너지가 무질서한 형태로 변환되는 정도를 정량적으로 나타내는 물리량이 바로 엔트로피라 하였다. 따라서 열역학적 표현으로 엔트로피는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ dS = \frac{\delta q_{rev}}{T} \;\;\; S = \int \frac{\delta q_{rev}}{T} $$
또한 통계역학적으로는 wight of configuration을 이용하여 다음과 같이 정의한다고 하였다. 이를 Boltzman formula for the entropy라 부른다.
$$ S = k_B \ln W $$
이 식을 한 번 유도해보자.
3.1 엔트로피의 통계적 표현: Boltzmann formula
위의 내부에너지 식으로부터, 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ U(T) = U(0) + \langle E \rangle = U(0) + \sum_i N_i \varepsilon_i $$
이때, 양변의 미소변화량은 다음과 같이 주어질 것이다.
$$ dU(T) = dU(0) + \sum_i N_i d \varepsilon_i + \sum_i \varepsilon_i dN_i$$
이때, $ U(0) $는 상수이므로, $ dU(0) = 0 $, 이고, constant volume 인 상황에서는 energy level $ \varepsilon_i $는 변하지 않는다.(Molecular partition function 유도에서 translational contribution 유도를 떠올려보자. Particle in a box에서 부피가 변하지 않는다면, energy level은 변하지 않는다. 부피가 증가하면, energy level 간격은 좁아졌음을 확인했다. 여기 참고) 따라서 $ d \varepsilon_i = 0 $이다. Constant volume에서 $ dS $와 $dU $는 다음과 같은 관계를 가진다.
$$
dU = dq_{\text{rev}} = TdS \quad \leftarrow \quad dU = TdS - pdV \;\; (dV = 0)
$$
위 사실을 적용하면, $ dS $ 에 대해 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$
dS = \frac{dU}{T} = \frac{1}{T} \sum_i \varepsilon_i dN_i = k\beta \sum_i \varepsilon_i dN_i
$$
볼츠만분포 유도과정에서 라그랑주 승수법을 적용하면, 다음의 식을 얻었음을 우리는 알고 있다.
$$
\frac{\partial \ln W}{\partial N_i} + \alpha - \beta\varepsilon_i = 0
$$
$$
\beta\varepsilon_i = \frac{\partial \ln W}{\partial N_i} + \alpha
$$
이를 $ dS $ 식에 대입하고 정리하자.
$$
dS = k \sum_i \left(\frac{\partial \ln W}{\partial N_i}\right) dN_i + k\alpha \sum_i dN_i = k(d \ln W) \;\; (\sum_i dN_i = 0
)
$$
$$
\because \left(\frac{\partial \ln W}{\partial N_i}\right) dN_i = d \ln W
$$
정리하면, 엔트로피의 통계역학적 표현, Boltzmann formula를 얻을 수 있다.
$$
\therefore S = k \ln W
$$
3.2 엔트로피와 partition function
이번에는, 이렇게 통계역학적으로 표현한 엔트로피와 partition function과의 관계를 유도해보자. Partition function을 알면, 모든 열역학적인 양을 알 수 있다고 하였으므로, 엔트로피 역시 partition function으로 표현할 수 있어야 되겠다.
어떤 계가 $ N $ 개의 independent, distinguishable한 분자들로 구성되어 있다고 하자. 위의 Boltzmann formula의 $ \ln W $을 스털링 근사를 이용하여 $ \ln W = N \ln N - \sum_i N_i \ln N_i $ 으로 표현할 수 있고, 대입해서 다음과 같이 정리하자.
$$ \begin{align*}
S &= k \left( N \ln N - \sum_i N_i \ln N_i \right) \\
&= k \left( \sum_i N_i \ln N - \sum_i N_i \ln N_i \right) \\
&= -k \sum_i N_i \ln \frac{N_i}{N} \\
\end{align*} $$
볼츠만 분포로부터 우리는 다음의 사실을 안다.
$$
\frac{N_i}{N} = \frac{e^{-\beta \epsilon_i}}{q}
$$
$$
\ln \frac{N_i}{N} = \ln \left( \frac{e^{-\beta \epsilon_i}}{q} \right) = -\beta \epsilon_i - \ln q
$$
이를 위 식에 대입하면, 엔트로피
$$ \begin{align*}
S &= -k \left( \sum_i N_i (-\beta \epsilon_i - \ln q) \right) \\[10pt]
&= k\beta \sum_i N_i \epsilon_i + k \sum_i N_i \ln q \quad \leftarrow \left\langle \epsilon \right\rangle = \frac{E}{N} = \frac{1}{N} \sum_i N_i \epsilon_i \\[10pt]
&= k\beta N \left\langle \epsilon \right\rangle + Nk \ln q \\[10pt]
&= \frac{U-U(0)}{T} + Nk \ln q
\end{align*} $$
Independent, distinguishable한 분자들의 canonical partition function은 $ Q = q^N $ 이었으므로, 이를 적용하면 엔트로피는 다음과 같이 표현할 수도 있다.
$$ S = \frac{U-U(0)}{T} + k \ln Q $$
이번에는 계에 independent, indistinguishable 분자들이 있다고 가정하자. 앞선 포스팅에서 언급했듯, Indistinguishable하므로, Boltzmann formula의 $ W $는 $ N ! $ 만큼을 나눠줘야 하겠다. 따라서, $ \ln W $는 다음과 같이 주어질 것이다.
$$ \ln W = N \ln N - \sum_i N_i \ln N_i -(N \ln N- N)$$
이를 Boltzmann formula에 대입하여, 위와 같은 과정으로 정리하면, 다음을 얻는다.
$$ S = \frac{U(T) - U(0)}{T} + Nk \ln \frac{qe}{N} $$
Independent, indistinguishable한 분자들의 canonical partition function은 $ Q = \frac{q^N}{N!} $ 이었으므로, 이를 적용하면 엔트로피는 다음과 같이 표현할 수도 있다.
$$ S = \frac{U-U(0)}{T} + k \ln Q $$
Independent, distinguishable한 분자들과 indistinguishable한 분자들 모두 엔트로피는 canonical partition function 을 이용하여 같은 식으로 표현 가능함을 확인할 수 있다. 특징적으로, 내부에너지 $ U $도 canonical partition function으로 표현할 수 있었으므로, 엔트로피는 다음가 같이 표현할 수도 있다.
$$ \begin{align*}
U(T) - U(0) &= -\left(\frac{\partial \ln Q}{\partial \beta}\right)_V = kT^2 \left(\frac{\partial \ln Q}{\partial T}\right)_V \\[10pt]
\therefore S &= \frac{U(T)-U(0)}{T} + k \ln Q \\[10pt]
&= kT \left(\frac{\partial \ln Q}{\partial T}\right)_V + k \ln Q \\[10pt]
&= \left(\frac{\partial}{\partial T} (kT \ln Q)\right)_V
\end{align*} $$
3.3 엔트로피의 contribution
이렇게 엔트로피를 partition function을 이용하여 표현할 수 있었다. Partition function은 운동 mode의 각 contribution의 곱으로 표현되었으므로, 각 운동 mode에 대한 엔트로피를 표현해보자.
3.3.1 Translational contribution
어떤 계에 monoatomic perfect gas가 있다고 하자. Monoatomic이므로, 4가지 mode 중, rotational, vibrational, electronic contribution은 존재하지 않고 translational contribution만 남는다. 또한 이상기체이므로 independent, indistiguishable 하다. 이 분자들의 내부에너지 $ U(T) - U(0) = 3/2 nRT $ 로 계산됨을 위에서 확인했므로, 이 식과 molecular translational partition function을 대입하면 이 계의 엔트로피를 계산할 수 있다.
$$ \begin{align*}
S &= \frac{U(T)-U(0)}{T} + Nk \ln \frac{qe}{N} \\[10pt]
&= \frac{3}{2}nR + nR \ln \frac{q^e}{N} \quad \leftarrow q_t = \frac{V}{\Lambda^3}, \Lambda^3 = \left(\frac{h^2 \beta}{2\pi m}\right)^{3/2} \\[10pt]
&= nR \left(\ln e^{3/2} + \ln \frac{V e}{n N_A \Lambda^3}\right) \\[10pt]
&= nR \ln \left(\frac{V_m e^{5/2}}{N_A \Lambda^3}\right) \quad (V_m = \frac{V}{n} \text{ : molar volume })
\end{align*} $$
여기에 양변에 $ n $을 나눠 몰엔트로피로 표현할 수 있다. 이 식을 Sackur-Tetrode equation이라 부른다.
$$ S_m = nR \ln \left(\frac{V_m e^{5/2}}{N_A \Lambda^3}\right) $$
위의 Sackur-Tetrode equation에 이상기체 상태방정식 $ V_m = RT/p $를 대입하고, $ p = p^\ominus $ 로 표현하여, standard molar entropy를 계산할 수 있다.
$$ S_{\text{m}}^\ominus = R \ln \left( \frac{R T e^{5/2}}{p^\ominus N_{\text{A}} \Lambda^3} \right) = R \ln \left( \frac{k T e^{5/2}}{p^\ominus \Lambda^3} \right) $$
대단히 복잡하긴 한데, 이 식이 열역학적 접근과 완전히 일치함을 확인해보도록 하자. 어떤 이상기체가 $ V_1 \rightarrow V_2 $ 로 등온팽창(isothermally expansion) 했다고 하자. 이때의 엔트로피 변화는 다음과 같이 주어짐을 앞선 포스팅에서 다룬바 있다.
$$ \Delta S = nR \ln{\frac{V_2}{V_1}} $$
위의 Sackur-Tetrode equation 에 적용해보자. 위의 열역학적 접근 결과와 완전히 일치함을 본다.
$$ \Delta S= \Delta nR \ln \left(\frac{V_m e^{5/2}}{N_A \Lambda^3}\right) = nR \ln \frac{V_2}{V_1} $$
따라서, 엔트로피의 통계역학적 접근의 결과가 열역학적 접근의 결과와 동일하고, 유효한 설명임을 본다.
3.3.2 Rotational contribution
이번에는 어떤 계에 linear molecules가 있다고 하자. 이 분자들이 independent, distiguishable 하다고 하면, 이 분자들의 내부에너지는 high T 에서 $ U(T) - U(0) = nRT $ 로 주어짐을 위에서 확인했다. 이때, 이 식과 molecular rotational partition function을 대입하면 rotatioinal contribution을 계산할 수 있다.
$$ \begin{align} S^R &= \frac{U-U(0)}{T} + Nk \ln q \\[10pt] &= nR \left( 1+ \ln \frac{kT}{\sigma hc \tilde{B}} \right) \\[10pt] &= nR \left( 1+ \ln \frac{T}{\sigma \theta^R} \right) \end{align} $$
따라서 molar entropy의 rotational contribution은 다음과 같이 주어질 것이다.
$$ S_m^R = R \left( 1+ \ln \frac{kT}{\sigma hc \tilde{B}} \right) = R \left( 1+ \ln \frac{T}{\sigma \theta^R} \right) $$
3.3.3 Vibrational contribution
마지막으로 vibrational contribution을 살펴보자. Molecular vibrational energy와 molecular vibrational partition function은 아래와 같이 주어졌다.
$$ \langle \epsilon^V \rangle = \frac{hc\tilde{\nu}}{e^{\beta hc\tilde{\nu}}-1} $$
$$ q_v = \frac{1}{1-e^{-\beta hc\tilde{\nu}}} $$
$ U(T) -U(0) = N \langle \epsilon^V \rangle $이므로, 이를 대입하면 vibrational contribution 및 molar entropy를 계산할 수 있다.
$$ \begin{align} S^V &= \frac{U-U(0)}{T} + Nk \ln q \\[10pt] &= nR \left( \frac{\beta hc \tilde{\nu}}{e^{\beta hc\tilde{\nu}}-1} - \ln (1- e^{-\beta hc\tilde{\nu}}) \right) \end{align} $$
$$ S_m^V = R \left( \frac{\beta hc \tilde{\nu}}{e^{\beta hc\tilde{\nu}}-1} - \ln (1- e^{-\beta hc\tilde{\nu}}) \right) $$
또한 vibrational temperature $ \theta^V $를 이용하면, 다음과 같이 표현도 가능하다.
$$ S_m^V = R \left( \frac{\theta^V / T}{e^{\theta^V / T}-1} - \ln (1- e^{\theta^V / T}) \right) $$
3.4 잔류 엔트로피 (Residual entropy)와 열역학 제 3법칙
이번에는 잔류엔트로피에 대해 알아보자. 우리는 지금까지 열역학 제 1, 2법칙(0법칙도 살짝 언급)만 다뤘었다. 사실 열역학 제 3법칙도 존재하고, 이는 완벽한 결정상태를 가진 순수한 물질의 엔트로피는 절대영도(T=0K)에서 0이라는 말로 서술될 수 있다. 물론 절대영도를 현실적으로 만드는 것은 불가능하기 때문에 수렴한다고 이해하면 될 것 같다.
그런데 어떤 계들은 절대영도에 가깝게 내려가더라도 엔트로피가 0이 아닌 경우가 있다. 이를 잔류 엔트로피(Residual entropy)라 부른다. 엄밀하게는 절대영도 가까이에서 열역학적 비평형상태에 있을 때의 엔트로피와 평형상태(crystal state)에 있을 때의 엔트로피 간의 차이로 정의한다. 이러한 차이가 어떻게 발생할 수 있는지 알아보자.
일산화 탄소분자 CO처럼 diatomic molecule인 AB를 생각해보자. N개의 AB 분자가 절대영도 가까이에서 완벽한 결정 구조를 이루고 있다면, dipole moment에 의해 하나의 방향으로 정렬하게 되여야 한다(위 혹은 아래 방향). 이를 평형상태라 생각할 수 있고, 이때의 엔트로피는 열역학 제. 법칙에 의해 0이다. 그러나, AB의 dipole moment와 그 상호작용이 매우 약해서, 절대영도 가까이로 냉각할 시에 실질적으로 완벽한 결정구조를 형성하는 데는 매우 긴 시간이 필요하다. 따라서, 각 AB 분자들은 위로 향하든, 아래로 향하든 같은 에너지를 갖기 때문에, 1개의 분자가 배열할 수 있는 경우의 수는 2가지가 된다. 그러므로, 전체 N개의 분자들이 가질 수 있는 상태의 경우의 수는 $ W = 2^N $ 개가 주어질 수 있는 것이다. 결론적으로, 이 상황에서 잔류엔트로피는 다음과 같이 표현된다.
$$ S = k \ln 2^N = Nk \ln 2 = nR \ln 2 $$
만약 1 mol의 AB 분자들이 존재한다면 잔류엔트로피는 $ S = R \ln 2 = 5.76 J K^{-1} $ 정도가 될 것으로 예상된다. 이를 확장하여, $ s $를 어떤 분자가 동일한 에너지를 가질 수 있는 가능한 방향의 개수라고 한다면, 잔류 엔트로피는 다음과 같이 주어질 것이다.
$$ S = R \ln s $$
오늘 포스팅에서는 내부에너지와 엔트로피의 통계역학적 표현을 지금까지 배웠던 모든 개념들을 종합하여 유도해보았다. 또한 그 결과가 열역학적 접근 결과와 일치함도 확인할 수 있었다. 내용이 조금 길었지만, 대단히 중요한 개념들이니, 꼭 이해해보도록 하자.
다음 포스팅에서는 내부에너지와 엔트로피에 이어서, 여러 다른 열역학적 상태함수들의 (Gibbs 자유 에너지 등등) 통계역학적 표현을 다뤄보도록 하겠다.
궁금한 내용이나 질문이 있다면 댓글로 달아주면 친절히 답변해보도록 하겠다.
그럼 다음 포스팅에서 만나요~!! 안녕~~!!
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