2.3 Solidification of Single-Phase Alloys
2.3.3 Non-equilibrium Solidification
지난 포스팅부터, 단일 상 (Single phase) alloy의 Solidification에 다뤄보고 있다. single phase alloy 의 solidification을 다음의 세 경우로 구분할 수 있었다.
- 1. 고체와 액체가 완벽하게 섞이는 경우(perfect mixing): 즉, 평형을 언제나 이룸(Equilibrium Solidification)
- 2. 고체에서는 확산이 일어나지 않고(평형이 아님, no diffusion), 액체는 완벽하게 섞이는 경우(perfect mixing)
- 3. 고체에서 확산이 일어나지 않고(평형이 아님, no diffusion), 액체는 확산이 일어나며 섞이는 경우 (diffusional mixing)
그 중 1번은 Equilibrium Solidification, 나머지 2번과 3번은 non-equilibrium solidification이라고 부른다.
1번은 지지난 포스팅에서, 2번의 non-equilibrium solidification과 lever rule에 해당하는 Scheil equation은 지난 포스팅에서 다루어 보았다. 아래 두 포스팅을 참고하자.
[PT] 2.3.1 Solidification of Single-Phase Alloys / Equilibrium Solidification
2.3 Solidification of Single-Phase Alloys2.3.1 Equilibrium Solidification 오늘 포스팅부터는 Alloy의 Solidification에 다뤄보도록 하겠다.2.3 에서는 단일 상 (Single phase) alloy의 solidification 에 대해, 2.4 에서는 Eutectic
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[PT] 2.3.2 Solidification of Single-Phase Alloys / non-equilibrium Soldification - Scheil equation
2.3 Solidification of Single-Phase Alloys2.3.2 Non-equilibrium Solidification - Scheil equation 지난 포스팅부터, 단일 상 (Single phase) alloy의 Solidification에 다뤄보고 있다. single phase alloy 의 solidification을 다음의 세 경우
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오늘 포스팅에서는 3번의 non-equilibrium solidification, 고체에서 확산이 일어나지 않고(평형이 아님, no diffusion), 액체는 확산이 일어나며 섞이는 경우 (diffusional mixing) 한 경우를 살펴보도록 하겠다.
그럼 시작해보자!
1. No Diffusion on Solid, Diffusional Mixing in the Liquid
Cooling을 급격하게 해서, 고체 내에서 확산이 일어나지 못했고 (no diffusion), 액체는 충분히 섞이지 못해, 확산이 일어나고 있다고 하자. (not well stirring, diffsuion)
여기서 주의할 점은, 지난 포스팅과는 달리, 액체 충분히 섞이지 못했다는 것이다! (not well stirring) 먼저, 아래의 상평형도를 살펴보자.
1.1 Local equilibrium at S/L interface
위 상평형도에서 $ X_0 $ 선(파란색)을 따라 고온에서 저온으로 cooling을 한다고 생각하자. 이 과정에서 Alloy의 단면은 아래 그림처럼 나타나게 된다. 단번에, 지난 포스팅에서처럼 충분히 섞인 경우와는 차이가 있음을 살펴볼 수 있다.
고체 부분에서는 입자들이 고정되어 용질이 이동할 수 없다. 따라서 용질은 액체쪽으로 밀려나게 된다.
고체에서 밀려난 용질은 액체로 방출되는데, 액체 내부에서 stirring 등이 없다면, 즉 perfect mixing을 하지 못한다면, 용질은 오로지 확산(diffusion)에 의해서만 이동한다.
이로 인해 고체 바로 앞의 액체(고체-액체 경계면)에는 용질이 점점 쌓여서, 용질의 농도가 급증하게 된다.(build-up) 이 현상을 초기 과도 현상(Initial Transient)라고 부른다. => 1번, 2번 그림
응고가 일정한 속도 v로 진행되면, 시간이 지나면서 정상 상태(steady state)에 도달하게 된다. 이 과정에서는 고체 쪽의 용질이 액체로 밀려나면서 액체쪽의 용질농도가 점차 증가하는 양상을 띄게 된다. => 3번 그림
그러다가, Eutectic point 에서의 조성, 즉 $ X_E $ 까지 도달하게 되고, 이 경우를 Final Transient 라고 부르게 된다. => 4번 그림
1.2 Steady-State Growth
위에서 Solidification의 과정을 알아보았으니, 구체적인 식을 알아보도록 하자. 가장 중요한 부분은 steady-state상황일 것이다. 앞서 언급했듯, steady-state 상태에서는 응고가 일정한 속도 v로 진행되게 된다.
이것의 의미는, (표면에서 농도기울기를 따라 액체 쪽으로 확산하는 속도)와 (고체 -> 표면으로 용질이 방출되는 속도)가 같다는 의미이다.
농도기울기를 따라 액체 쪽으로 확산하는 속도
- Fick's first law를 이용해 flux를 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ J = -DX_L' $$
고체에서 표면으로 용질이 방출되는 속도
- 응고되는 속도를 v로 표현했으므로, 고체 -> 표면으로 방출되는 용질의 flux는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ J= v(X_L - X_S) $$
따라서 이를 결합하면 다음과 같이 쓸 수 있고,
$$ J = -D \frac{\partial X_L}{\partial x} = v(X_L - X_S) $$
이를 풀면, 다음을 얻는다.
$ X_S = X_0 $에서 모든 $ x \geq 0 $에 대해, (steady-state)
$$ \frac{dX_L}{X_L - X_0} = -\frac{v}{D} dx $$
$$ \int{\frac{dX_L}{X_L - X_0} }= - \int {\frac{v}{D} dx} $$
$$ \ln(X_L - X_0) = -\frac{v}{D} x + c $$
초기조건: $ x = 0 $에서 $ X_L = \frac{X_0}{k} $을 만족하므로, 이를 대입하면 적분상수 c를 얻고,
$$ c = \ln\left(\frac{X_0}{k} - X_0\right) $$
다음과 같이 정리할 수 있다.
$$ \ln \frac{X_L - X_0}{X_0\left(\frac{1}{k} - 1\right)} = -\frac{v}{D} x $$
$$ X_L - X_0 = X_0 \left(\frac{1 - k}{k}\right) e^{-\frac{v x}{D}}$$
$$ X_L = X_0 \left[1 + \frac{1 - k}{k} \exp\left(-\frac{x}{D/v}\right)\right] $$
즉, steady-state에서 액체 쪽의 농도 $ X_L $ 은
표면에서부터 ( $ \frac{X_0}{k} $ at $ x = 0 $) 멀어질 수록 기하급수적으로 감소하여 표면에서 먼 부분은 $ X_0 $의 조성을 가지게 된다. 이 식이 바로 위 그림 2번, 및 3번에서 표시된 액체쪽의 그래프의 함수가 되겠다.
뿐만 아니라, 표면의 액체 쪽에서 접선을 그리게 되면, 다음과 같은 사실을 얻는다.
$$ \frac{d X_L}{dx} = - X_0 \frac{1 - k}{k} \frac{1}{D/v} \exp\left(-\frac{x}{D/v}\right)$$
x축 절편이 표면으로부터 떨어진 거리는 $ x=0 $에서 다음과 같이 계산된다
$$ \frac{\frac{X_0}{k} - X_0} {\frac{d X_L}{dx}} = \frac{D}{v} $$
접선을 이용하지 않고 다음을 이용하면 더 쉽게 계산할 수 있다.
$$ J = -D X_L' = v \left(X_L - X_S\right) $$
$$ X_L' = \frac{X_L - X_S}{D/v} $$
따라서, x축 절편이 표면으로부터 거리는:
$$ \frac{X_L - X_0} {X_L'} = \frac{D}{v} $$
즉, 접선의 x축 절편이 표면으로부터 떨어진 거리는 $ \frac{D}{v} $ 가 된다. 이는 위 그림 2번 및 3번에서 표현되어 있으니, 확인해보자.
오늘 포스팅까지 세번의 포스팅에 걸쳐, 단일 상 (Single phase) alloy의 Solidification 세 가지 경우를 모두 다뤄보았다.
- 1. 고체와 액체가 완벽하게 섞이는 경우(perfect mixing): 즉, 평형을 언제나 이룸(Equilibrium Solidification)
- 2. 고체에서는 확산이 일어나지 않고(평형이 아님, no diffusion), 액체는 완벽하게 섞이는 경우(perfect mixing)
- 3. 고체에서 확산이 일어나지 않고(평형이 아님, no diffusion), 액체는 확산이 일어나며 섞이는 경우 (diffusional mixing)
다음 포스팅에서는 지금까지의 planar alloy의 경우가 아닌 cellular, Dendritic Solidificaiton 및 constitutional supercooling을 다뤄보도록 하겠다.
궁금한 점이 있다면, 언제든 댓글로 질문을 달아주면 성실히 답변해보도록 하겠다.
그럼 안녕~!!
