[PT] 2.1.5 Heterogeneous Nucleation / rate (속도)

 

2.1 Nucleation

2.1.5 Heterogeneous nucleation rate

오늘 포스팅에서는 지난 포스팅에 이어서, Homogeneous nucleation

특히 속도 부분에 대해 설명해 보려 한다.

 

앞서 Heterogeneous nucleation 포스팅이 궁금하다면 여기를 참고하도록 하자.

특히, Homogeneous nucleation rate을 정리한 포스팅을 꼭 살펴보자.

완전히 같은 방법으로 분석할 것이므로, 많은 부분을 생략하려 한다.

 

2024.10.29 - [전공 공부정리/Phase Transformation (상변태)] - [PT] 2.1.4 Heterogeneous Nucleation

2024.10.26 - [전공 공부정리/Phase Transformation (상변태)] - [PT] 2.1.3 Homogeneous Nucleation / rate (속도)

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6. Heterogeneous Nucleation rate

Homogeneous nucleation rate 포스팅에서처럼, Heterogeneous nucleation rate를 같은 방법으로 구해보자.
우리는 다음의 관계가 성립함을 쉽게 알 수 있다.

 

$ C_1 $ : 단위부피 당 heterogeneous nucleation과 contact 하는 원자 수 (=원자 밀도)

$ f_1 $ :  1개의 원자가 추가되는 frequency (Heterogeneous 에서)
$ n_1 $ : atoms in contact with the mold wall

 

$$n^* = n_1 \exp \left( -\frac{\Delta G^*_{\text{het}}}{kT} \right) $$

$$N_{\text{het}} = f C_1 \exp \left( -\frac{\Delta G^*_{\text{het}}}{kT} \right) $$

 

Homogeneous, Heterogeneous Nucleation 사이에는 다음의 관계가 성립하므로,

$$ \Delta G^*_{\text{het}} = S(\theta) \Delta G^*_{\text{hom}} $$

 

대입하면 다음을 얻는다.

$$ N_{\text{het}} = f C_1 \exp \left( -\frac{A \cdot S(\theta)}{\Delta T^2} \right) $$

$$ A = \frac{16 \pi \gamma_{SL}^3 T_m^2}{3 L_v^2 kT} $$

 

Homogeneous nucleation rate 과 비교해보자.

$$ N_{hom} = f_0 C_0 \exp\left\{-\frac{A}{(\Delta T)^2}\right\} $$

즉, 이로부터 Heterogeneous nucleation rate는

$ S(\theta) $ 가 작아진다면, 속도는 더 빨라지고,

$ S(\theta) $ 가 커진다면, 속도는 더 느려짐을 확인할 수 있다.

 

예를 들면,

$ \gamma_{SM} $ 가 작으면(solid와 mould가 비슷하다면), $ \theta $가 작아져서, "good wetting"이 될 뿐만 아니라

nucleation 속도가 더 빨라짐을 예상할 수 있게 된다.

 

7. Homogeneous & Heterogeneous Nucleation Rate 비교

6번에서 Homogeneous & Heterogeneous nucleation rate 식을 작성해 보았다. 

이로부터 Heterogeneous nucleation rate에서는 exp항 안에 $ S(\theta) $가 들어가 있음을 확인할 수 있다.

$$ N_{hom} = f_0 C_0 \exp\left\{-\frac{A}{(\Delta T)^2}\right\} $$

$$ N_{\text{het}} = f C_1 \exp \left( -\frac{A \cdot S(\theta)}{\Delta T^2} \right) $$

$$ A = \frac{16 \pi \gamma_{SL}^3 T_m^2}{3 L_v^2 kT} $$

 

지난 Homogeneous nucleation rate 포스팅에서 diffusion을 고려해서 아래와 같은 그래프를 그릴 수 있었다.

이를 고려해서 $ N_{\text{hom}} $ 와 $ N_{\text{het}} $ 를 $ \Delta T $ 에 대해 그래프를 그리면 다음과 같다.

(지난 포스팅을 참고해보자.)

 

이번엔, barrier $ \Delta G^* $ 를 고려해보자.

Homogeneous, Heterogeneous nucleation $ \Delta G^* $ 은 다음과 같이 주어진다.

$$ \Delta G^*_{\text{hom}} = \left( \frac{16 \pi \gamma_{SL}^3 T_m^2}{3 L_v^2} \right) \frac{1}{(\Delta T)^2} $$

$$ \Delta G^*_{\text{het}} = \left( \frac{16 \pi \gamma_{SL}^3 T_m^2}{3 L_v^2} \right) \frac{1}{(\Delta T)^2} \cdot S(\theta) $$

 

이를 이용해  \( \Delta G^* \)의 변화를 undercooling (\( \Delta T \)) 에 대해 그려보고,

이에 대응되는 같은 \( \Delta G^* \) critical value에서의 nucleation rates를 그래프로 그려보자.

 

 

즉, Homogeneous nucleation에 비해 Heterogeneous nucleation이 더 낮은 온도에서 시작됨을 알 수 있다.

이것이 정말 중요한데,

 

예시로, 액체 니켈이 냉각될 때(undercoooling), homogeneous nucleation만 존재한다면

온도가 용융점 $ T_m $보다 250도 더 내려가도 nucleation이 진행되지 않는다고 한다.

하지만, 실제로는 1도만 내려가도 nucleation이 진행되게 되는데, 이 이유가 바로,

조금만 온도변화가 존재해도 진행되는 Heterogeneous nucleation 이 있기 때문인 것이다.

 

물의 경우를 예시로 들면, 거의 모든 불순물을 완전히 제거하게 되면 -35도까지 과냉각되지만,

실제의 경우에는 불순물을 포함한 경우(소금물을 상상해보자), -5도면 얼게 된다.

 

이러한 원인이 바로 계속 공부했던 Heterogeneous nucleation에 있기 때문이라고 할 수 있다.

 

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오늘 포스팅까지 Homogeneous 와 Heterogeneous Nucleation에 대해서 알아보았다.

다음 포스팅에서부터는 Growth에 대해 다뤄보도록 하겠다.

 

궁금한 점이 있다면, 언제든 댓글로 질문을 달아주면 성실히 답변해보도록 하겠다.

그럼 안녕~!!