2.2 Growth
2.2.3 Dendrite의 형성과 속도(rate)
지난 포스팅에서는 growth가 진행될 때, heat flow와 안정성에 대해 알아보았는데,
[PT] 2.2.2 Growth / Heat flow and Stability (Superheated & Supercooled)
2.2. Growth2.2.2 Heat flow and Interface Stability (Superheating & Supercooling)열 흐름과 표면 안정성 (과열 및 과냉) 지난 2.1 Nucleation 포스팅까지는 Nucleation에 대해 다뤄보았다.Solidification 은 nucleation이 발생한
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supercooled 된 액체는 자발적으로, protrusion이 계속해서 진행될 수 있음을 알아보았다.
이 과정에서, 생기는 것을 dendrite라고 부르고, 오늘 포스팅에서는 이
dendrite의 형성과정과 속도, 종말점에 대해 다뤄보려고 한다.
읽다가 이해가 안가는 부분이 있다면, 지난 포스팅을 참고해보면 좋겠다.
그럼 시작해보자!!
1. Dendrite의 형성
앞선 포스팅에서 설명했 듯, supercooled 된 액체( $ T_m $ 보다 아래)와 고체의 표면은,
열역학적으로 불안정(unstable)함을 살펴보았다.
다시말해, protrusion의 발생이 안정하다는 것이다.
먼저, 아래 그림을 살펴보자. (a)와 같이 nucleation이 생성되었다.
그런데 이 고체-액체 표면에서 Heat flow가 고체 -> 액체 쪽으로 이동하게 되어,
표면이 unstable하다면, protrusion이 crystallographic direction 을 따라 연속적으로 진행될 것이다.
이 때, 처음으로 생긴 protrusion arm을 primary라 하자. (c)
그러다, primary arm의 중간 부분 역시, 표면이 unstable 하므로,
crystallographic direction을 따라 또 protrusion이 진행되어 secondary arm 이 생긴다.
이러한 과정을 계속 반복하다보면 (tertiary arm... 계속 진행...)
위 그림처럼 복잡한 모양을 이루게 될 것이다. 이를 Dendrite라 부른다.
그럼 이제, 이렇게 생성되는 Dendrite의 growth rate(성장속도)을 살펴보자.
2. Dendrite의 growth rate
Dendrite의 growth 는 이전 포스팅에서 살펴보았던 경우(Planar)와는 살짝 다르다.
Dendrite의 tip(끝)은 3차원적이므로, 열이 3차원적으로 전도된다는 것이다.
아래의 그림을 살펴보도록 하자.
이 때, 고체의 온도가 등온이라고 가정하자.( $T'_S = 0 $)
그럼 위에서 살펴보았던 heat balance eqution $ K_S T'_S = K_L T'_L + v L_V $으로부터 다음을 얻는다.
$$ v = \frac{-K_L T'_L}{L_V} $$
액체의 온도기울기 ( $ T'_L $ )를 다음과 같이 근사하도록 하자.
$$ T'_L (\text{negative}) \approx \frac{\Delta T_c}{r}, \quad \Delta T_c = T_i - T_\infty $$
$ T_i $ : tip 표면에서의 온도
$ T_\infty $ : dendrite에서 멀리 떨어진 액체의 온도
여기서, 온도기울기가 곡률반지름 r에 반비례하는 이유는, 열의 분산과 관련이 있다.
- 이 작을수록 열이 작은 영역에 집중적으로 방출되어 온도 기울기가 커지고,
- r이 클수록 열이 더 넓은 영역에 분산되어 온도 기울기가 작아지는 것을 의미한다.
이 가정을 이용해, 위 식에 대입해보자.
$$ v = \frac{-K_L T'_L}{L_V} \approx \frac{K_L}{L_V} \cdot \frac{\Delta T_c}{r} = \frac{K_L}{L_v} \cdot \frac{(\Delta T_0 - \Delta T_r)}{r} $$
위 그림에서도 보듯, $ \Delta T_0 = T_m - T_\infty = \Delta T_r + \Delta T_c $ 임을 사용했다.
여기서, 용융잠열 (Latent heat) 과 Gibbs-Thomson equation을 생각해보면,
$ \Delta T_r = T_m - T_i $ 을 r에 대한 식으로 나타낼 수 있다는 사실을 알 수 있다.
$$ G_V = \frac{L_V}{T_m} \Delta T_r = \frac{2\gamma}{r} $$
$$ \Delta T_r = \frac{2\gamma T_m}{L_V r} $$
이 식을 대입하자. 그러면, 다음을 얻는다.
$$ v \approx \frac{K_L}{L_v} \cdot \frac{(\Delta T_0 - \Delta T_r)}{r} = \frac{K_L}{L_v} \cdot \frac{\Delta T_0}{r} \left(1 - \frac{2\gamma T_m}{L_V r \Delta T_0} \right) $$
위 식을 잘 살펴보면, v가 0보다 크거나 같기 위한 곡률반지름 r의 최소값이 존재함을 찾을 수 있다.
그때의 r을 critical nucleus radius r*라고 하자. r*는 다음을 만족한다. (어디서 본 듯 하다...)
$$ r* = \frac{2\gamma T_m}{L_V \Delta T_0} $$
이를 이용해서 위 식을 깔끔하게 정리하면 다음을 얻을 수 있다.
$$ v = \frac{K_L}{L_v} \cdot \frac{\Delta T_0}{r} \left(1 - \frac{r^*}{r} \right) $$
이것이 dendrite의 growth rate가 되겠다.
2.1 Growth의 중단 조건 ( $ v = 0 $ )과 최고 속도 $ v_{max} $
위 식을 이용해 growth가 일어나지 않을 조건, 즉 $ v \to 0 $이 될 조건을 찾아보자.
곡률 반지름 r에 대해 다음의 두 경우를 생각할 수 있다.
- $ r \to r^* $ : Gibbs-Thomson effect에 의해, $ v \to 0 $
- $ r \to \infty $ : heat conduction의 분산에 의해, $ v \to 0 $
즉, r이 너무 커지지도 않고 작아지지도 않는, 그 중간에서 최대속도를 가질 것임을 쉽게 유추할 수 있다.
위 v 식을 r에 대해 미분해서 구하면, 최고 속도 $ v_{max} $는 $ r = 2r^* $ 일 때임을 쉽게 알 수 있다.
$$ v_{max} = \frac{K_L}{L_v} \cdot \frac{\Delta T_0}{4r} $$
오늘 포스팅에서는 지난포스팅에 이어서, dendrite와 그 성장속도에 관해 알아보았다.
지난 포스팅은 planar growth를, 이번 포스팅은 dendrite growth 을 다룬 것이니, 이 둘의 차이를 잘 이해하면 되겠다.
궁금한 점이 있다면, 언제든 댓글로 질문을 달아주면 성실히 답변해보도록 하겠다.
그럼 안녕~!!
