[PT] 2.2.2 Growth / Heat flow and Stability (Superheated & Supercooled)

 

2.2. Growth

2.2.2 Heat flow and Interface Stability (Superheating & Supercooling)

열 흐름과 표면 안정성 (과열 및 과냉)

 

 

지난 2.1 Nucleation 포스팅까지는 Nucleation에 대해 다뤄보았다.

Solidification 은 nucleation이 발생한 이후에는 growth가 진행되게 된다.

 

오늘 포스팅부터(2.2)는 그 이후 growth가 무엇인지, 그리고 그 메카니즘에 대해 알아보고자 한다.

(2.2.1 : continous, lateral growth 등을 다루는 포스팅은 작성중이니, 곧 업로드 하도록 하겠다.)

 

오늘은 growth가 진행될 때, 열이 온도기울기를 따라 어떻게 흐르는지,

그 때의 growth rate (속도)는 어떻게 주어지는지 알아보도록 하겠다. 

그럼 시작해보자 !!

 

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1. Heat balance equation

먼저, 어떤 액체 금속을 차가운 mould 위에 부었다고 상상해보자. (아래에서 살펴볼 superheated liquid 경우다)

액체 금속이 mould보다 온도가 더 높으므로, mould에게 열을 뺏길 것이고

그에 따라, mould와 접촉한 표면(interface)부터 solidification이 진행될 것이다.

이러한 과정을 우리는 growth라고 불렀다.

이 때, 표면에서 주고받는 열은 balance를 이뤄야 할 것이므로,

열전도 방정식을 사용하면Heat balance equation을 작성할 수 있을 것이다.

 

푸리에의 열전도 방정식(Fourier's law)에 의하면, heat flux $ q $는 다음과 같이 주어진다.

$$ q = - \kappa \nabla T $$

 

여기서, $ \kappa $는 Thermal conductivity이다.

 

1차원의 상황을 가정, 다음의 기호들을 사용하고, 

$ K_S $, $ K_L $ : 고체(solid) 및 액체(liquid)의 thermal conductivity

$ T'_S $, $ T'_L $ : 고체(solid) 및 액체(liquid)의 temperature gradient. 즉,

$ T'_S = \frac{dT_S}{dX} $, $ T'_L = \frac{dT_L}{dX} $

$ L_V $ : 단위 부피 당 용융잠열 (latent heat of melting)

$ v $ : solidfication된 고체의 growth rate

 

위의 열전도 방정식을 사용하여, heat balance equation을 만들어보면 다음과 같다.

$$ K_S T'_S = K_L T'_L + v L_V $$

 

액체가 고체로 변화하면서 열을 용융잠열만큼 방출하기 때문에, 위 식은 당연함을 안다.

위 경우에선 Superheated 경우만 언급했으나, Supercooled 상황에서도 위 식은 동일하게 적용된다. (이 역시 당연하다)

 

그래프적인 설명은 밑의 superheated, supercooled 에서 설명하도록 하겠다.

 

2. Superheated liq

1번의 예시처럼, 온도가 더 높은 액체가 차가운 고체(ex. mould)를 만나 solidification이 진행되어 grow될 때를 말한다.

즉, 열은 액체에서 고체 쪽으로 진행되고 있는 상황에서, growth가 조금 진행되어 protrusion(돌출부)가 생겼다고 하자. 

아래 그림에 표시해두었다.

(점선은 등온선을 그린 것이다. Solid 쪽이 Liquid 쪽보다 등온선의 간격이 더 촘촘하다. 이는 온도 기울기가 더 크다는 solid 쪽이 더 크다는 의미다. 아래의 그래프에서 확인하자)

만약 r이 커서 Gibbs-Thompson 효과를 무시할 수 있다면, 표면에서의 온도변화는 없을 것이다.

또한 표면에서 먼solid와 liquid 쪽은 온도변화가 없다고도 할 수 있다.

 

이러한 가정에선, protrusion이 생기기 전(실선)과 후(점선)의 온도-거리 그래프를 아래와 같이 그릴 수 있다.

실선: protrusion이 발생 전, 점선: protrusion 발생 후

 

빨간 점선을 잘 살펴보자.

solid 입장에서는 distance 가 늘어났는데, 표면에서 온도변화가 없으므로, 기울기가 작아짐을 본다. $ T'_S \downarrow $

(볼록한 부분으로 튀어나온 거리가 있으니, 그에 따라 기울기 낮아진다는 것이다.)

 

반면, Liquid 입장에서는 distance 가 줄어들고, 온도변화가 없으므로, 기울기는 커진다. $ T'_L \uparrow $

(볼록한 부분으로 튀어나온 거리가 있으니, 그에 따라 기울기 커진다는 것이다)

 

따라서, 위에서 살펴본 식

$$ K_S T'_S = K_L T'_L + v L_V $$

 

에서 왼쪽 항 $ K_S T'_S $가 작아지고, 오른쪽항 $ K_L T'_L $가 커지므로,

$ v $ growth rate는 감소한다. $ v \downarrow $

(K는 thermal conductivity이므로 재료의 고유 성질이라 constant하다)

 

따라서 protrusion의 growth는 진행될 수 없고, 사라진다.

이는 local protrusioin이 unstable하다는 것이고,

microscopic하게는 고체-액체 표면은 안정(stabe)해진다는 의미다. 

 

 

 

 

 

3. supercooled liquid

이번엔 반대로, 온도가 더 낮은 supercooling된 액체(liq)가 더 뜨거운 mould를 만나,

solidificaiton과 protrusion이 진행된다고 생각해보자. 열은 아래 그림과 같이 solid -> liquid 쪽으로 이동할 것이다.

같은 가정으로, r이 커서 Gibbs-Thompson 효과를 무시할 수 있어 표면에서의 온도변화는 없고,

또한 표면에서 먼 solid와 liquid 도 온도변화가 없다면,

protrusion이 생기기 전(실선)과 후(점선)의 온도-거리 그래프를 아래와 같이 그릴 수 있다.

 

 

Superheated 경우와 마찬가지로, 기울기의 크기 변화는 위의 경우와 완전히 동일하다.

(protrusion이 생긴 이상 기울기는 똑같을 것이기 때문)

 

다만, 열의 이동방향이 다르고, 그에 따라 기울기의 부호가 다르기 때문에, 

\( T'_L \downarrow \) & \( T'_S \uparrow \)

가 되고, 위의 식 $ K_S T'_S = K_L T'_L + v L_V $에서 

왼쪽항 $ K_S T'_S $ 증가, $ K_L T'_L $ 감소한다.

 

즉, $ v $ growth rate가 증가하고, protrusion growth가 계속 진행되게 된다.

이는 고체-액체 표면이 불안정(unstable)하고, local protrusioin이 안정(stable)하다는 이야기다.

 

이러한 protrusion이 계속 진행이 되면, dendrite 가 생성된다.

Dendrite의 형성과 성장속도는 다음 포스팅에서 알아보도록 하겠다.

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오늘 포스팅에서는 superheated 및 supercooled 된 액체를 이용해,

Heat flow를 알아보고, 이를 바탕으로 표면과 protrusion의 열역학적 안정성을 알아보았다.

 

다음 포스팅에서는 protrusion이 계속 진행되어 생기는 dendrite에 대해 알아보도록 하겠다.

 

궁금한 점이 있다면, 언제든 댓글로 질문을 달아주면 성실히 답변해보도록 하겠다.

그럼 안녕~!!