[고체물리] 유효 질량 (effective mass) 구하기, 물리적 의미 & 유도하는 법 알아보기

 

유효 질량 (effective mass): 물리적 의미 & 유도하는 법 알아보기

오늘 포스팅에서는

유효질량(effective mass)의 개념과 유도하는 방법, 물리적 의미를 소개해보고자 한다.

 

물론, 유효질량의 의미를 설명하기에 앞서,

매우매우!! 중요한 분산관계(dispersion relation) 혹은 e-k relation이라 부르는 것을

먼저 다루고 설명해야 하지만, 일단 생략하겠다.

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유효질량(effective mass)과 e-k relation 과의 관계

Free electron 의 경우, 슈뢰딩거 방정식을 풀게 되면

e-k 관계 (dispersion relation)은 다음과 같이 주어진다.

 

$$\varepsilon =\frac {\hbar^2 k^2}{2m}$$

 

이를 그래프로 그려보면,

당연히 dispersion relation 으로부터 2차함수 개형이 나온다.

위 \( e-k \) relation을 \( k \)에 대해 두번 미분하자.
\[ \frac{d^2 \epsilon }{dk^2 } = \frac{\hbar^2}{m}  \rightarrow \frac{1}{m} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 \epsilon}{dk^2} \]
위 이계도 함수는 \( e-k \) 함수의 곡률을 나타낸다. 즉, 전자 질량과 곡률은 반비례함을 의미한다.
이 식의 유효질량 \( effective \, mass \)다.

이 말은 즉슨, 현실의 물질에서 이상적인 free electron처럼 완벽한 2차함수 형태의 dispersion relation이 나오는 것이 아니라서, 계산된 실제의 dispersion relation의 곡선을 parabolic하게 근사하여, 유효질량을 계산할 수 있다는 의미이다!

 

•  자 그럼, 이 식이 왜 유효질량으로 생각할 수 있는지, 이게 왜 타당한지 설명해보도록 하겠다.

 

물리에서 일과 에너지를 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[ W = \Delta E = \int F_{ext} \, dx\]

양변을 \( x \)에 대해 미분하고 다음을 대입하자.
\[ F_{ext} \, \frac{dk}{dt} \]
$$ dE = F_{ext} dx = \hbar \frac{dk}{dt} dx = \hbar \frac{dx}{dt} dx $$
넘겨서 정리하면, group velocity $ v = \frac{dx}{dt} $ 다음과 같다.

 \[ v = \frac{1}{\hbar} \frac{dE}{dk} \]

위에서 구한 group velocity를 \( t \)에 대해 미분해보자. $ F_{ext} \, \frac{dk}{dt} $ 대입.

$$ \begin{align}
\frac{dv}{dt} = \frac{1}{\hbar} \frac{d}{dt} \left( \frac{d \epsilon }{dk} \right) &= \frac{1}{\hbar} \frac{d^2 \epsilon }{dk^2 } \frac{dk}{dt} \\
&= F_{ext} \frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 \epsilon }{dk^2 }
\end{align} $$

 

 

• 이렇게 구한 값을 고전적인 방법과 비교해서 해석해보자

앞선 답변의 식을 잘 보면, t에 대한 속도의 미분값과 외력이 비례하는 관계를 가졌다.
이를 고전물리로 해석한다면, 속도의 미분은 **가속도**로 해석할 수 있으므로, Newton's second law, 가속도의 법칙처럼 보인다.
\[ F_{\text{ext}} = M^* = \frac{1} { \frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 \epsilon}{dk^2} } \cdot \frac{dv}{dt} \]
\[ F = ma \]
즉, 관성질량은 위 두 식의 비교를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[ m^* = \frac{1} { \frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 \epsilon}{dk^2} } \]
앞서 설명했듯, e-k relation을 k에 대해 두 번 미분한 것과 식이 완전히 같다!!
즉, e-k relation의 곡률은 유효질량과 반비례 한다는 것을 알 수 있는 것이다.

 

 

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내용 중 질문 사항이 있다면,

언제든지 댓글로 달아주면 친절히 답변할 수 있도록 하겠다.

 

최대한 빠른 시일 내에 설명을 추가할 수 있도록 하겠다.