[고체물리] Free Electron의 슈뢰딩거 방정식 - 파동함수 & 분산관계 & k의 의미 (Periodic Boundary Conditions)

 

Free Electron의 격자 내 슈뢰딩거 방정식 (Periodic Boundary Conditions)

- 파동함수, 분산관계 (e-k relation), k의 의미까지

 

 

오늘 포스팅에서는 Nearly Free Electron Model을 설명함에 있어서, 

자유전자 (Free Electron) 가 격자 내 Periodic Boundary Conditions에서 가지는

파동함수, 분산관계, k의 의미들을 다뤄보려 한다.

 

주된 방향은 Free Electron이 Periodic Boundary Conditions을 갖는 이유와,

슈뢰딩거 방정식의 해, 그리고 해석에 초점이 맞춰져 있다.

 

분산관계나 k의 의미 등은 간단하게 서술만 하였다. 

(사실 이전에 업로드한 DOS 포스팅을 수정하다가, 독립된 포스팅으로 따로 만들게 되었다. DOS가 궁금하다면 여기로.)

 

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Free Electron의 슈뢰딩거 방정식 & Periodic Boundary Conditions

시간 독립형의 슈뢰딩거 방정식은 아래와 같다.

 

$ ( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } { \nabla ^ {2} } + U_{(r)})\;  \psi _ { (r) } = E\; \psi_ (r) $,   $ U_{(r)} = 0 $

 

여기서 중요한 것은, boundary condition인데,

 

격자(Lattice)의 주기성에 의해 boundary condition이 box 가 연속적으로, 반복적으로 존재한다.

아래 그림을 살펴보자.

lattice에서의 periodic한 box

 

주기성에 의해 파동함수 $\psi$ 는 격자의 길이 L을 주기로 가지는 주기함수가 되겠다.

따라서 boundary condition을 다음과 같이 세울 수 있다.

 

$$ \psi ( x , y , z ) = \psi ( x + L , y , z ) $$

$$ \psi ( x , y , z ) = \psi ( x , y + L , z  ) $$

$$ \psi ( x , y , z ) = \psi ( x , y , z + L ) $$

 

이러한 periodic boundary conditions을 가지는 슈뢰딩거 방정식을 풀어보자.

 

 

cf) 1차원 무한퍼텐셜 우물과의 비교

 

우리가 풀려고 하는 슈뢰딩거방정식은,

우리가 흔히 알고 있는 particle in a box에서의 1차원 무한퍼텐셜 우물과 다른 상황이다.

아래 그림이 1차원 무한퍼텐셜 우물이다.

길이 a 사이에서는 $U(r)=0$ 이 되겠으나, 이외 구간에서는 파동함수가 존재할 수 없으므로,

Boundary condition으로 $ \psi (0)=0$ , $ \psi (a) = 0$ 을 갖는다.

 

즉, 파동함수가 격자길이 L을 주기로 갖는 것이 아니라는 것이다!

이 부분을 유념해주자.

 

 

 

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Periodic Boundary Conditions에서의 파동 함수

위 방정식의 해는 수학적으로, 3차원적으로 다음과 같다.

 

$ \psi _{k} ( r) = \frac{1}{\sqrt {V}} \; e^{i \; k \cdot r} $

$ \epsilon _ { k } = \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m } $ -( e-k relation)

 

이 결과가 어떻게 도출되는지, 함께 알아보자.

 

$$ ( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } { \nabla ^ {2} } + U_{(r)})\;  \psi _ { (r) } = E\; \psi_ (r) $$

 

에서, $ U_{(r)} = 0 $을 대입하고, 양변을 넘겨서 정리해주면 다음과 같다.

$$ \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial z ^ { 2 } } + \frac {  2 m E }  {  \hbar ^ { 2 } }  \psi = 0 $$

 

에서,  $ \psi = \psi_{x} \psi_{y} \psi_{z}$ 이므로

$$ \psi_{y} \psi_{z}  \frac { \partial ^ { 2 } \psi_{x} } { \partial x ^ { 2 } } +  \psi_{x}  \psi_{z} \frac { \partial ^ { 2 } \psi_{y} } { \partial y ^ { 2 } } +  \psi_{x} \psi_{y}  \frac { \partial ^ { 2 } \psi_{z} } { \partial z ^ { 2 } } + \frac {  2 m E }  {  \hbar ^ { 2 } }  \psi_{x} \psi_{y} \psi_{z} = 0 $$

 

$ \frac {2 m E }{ \hbar ^ { 2 } } = k^{2} = \; k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2} $ 로 놓고,

 $ \psi = \psi_{x} \psi_{y} \psi_{z}$ 로 나눠주면, 

$$ (\frac{1}{\psi_{x}}  \frac { \partial ^ { 2 } \psi_{x} } { \partial x ^ { 2 } } + k_{x}^{2}) + ( \frac{1}  {\psi_{y} } \frac { \partial ^ { 2 } \psi_{y} } { \partial y ^ { 2 } } + k_{y}^{2}) +  (\frac {1} {\psi_{z}}  \frac { \partial ^ { 2 } \psi_{z} } { \partial z ^ { 2 } } + k_{z}^{2}) =  0 $$

 

이 때, 각 괄호로 묶인 항들이 모두 0을 만들어주면, 위 식이 성립한다.

이 항들을 각각 풀어주면 되는데, 이 때, periodic boundary condition을 사용하자. 그럼, 그 해는 아래와 같다.

(간단한 미분방정식 문제이니, 생략하겠다.)

 

$ \psi _{x}  = \frac{1}{\sqrt {L_{x}}} \; e^{i \; k_{x} \cdot r} $

$ \psi _{y}  = \frac{1}{\sqrt {L_{y}}} \; e^{i \; k_{y} \cdot r} $ 

$ \psi _{z}  = \frac{1}{\sqrt {L_{z}}} \; e^{i \; k_{z} \cdot r} $ 

 

그리고 periodic boundary condition을 사용하게 되면, 정말 중요한! k에 관한 정보를 얻을 수 있다.

 

$ k_{x} = \frac{2n_{x}\pi}{L_{x}} $

$ k_{y} = \frac{2n_{y}\pi}{L_{y}} $

$ k_{z} = \frac{2n_{z}\pi}{L_{z}} $

 

(이 때, $n_{x}, \; n_{x}, \; n_{x}$ 은 정수)

 

이 x, y, z에 관한 식들을 3차원으로 다시 확장하면 (벡터형으로 표현하면), 처음의 식을 얻는다.

Periodic Boundary Condition에서 Free electron은 위 식을 만족하고 있음을 알 수 있다.

 

E-k relation (분산관계)

위의 슈뢰딩거 방정식에 구한 해를 대입해보자.

그럼 아래의 결과를 얻을 수 있다. (eigenvalues)

 

$ E_{n_{x}, \; n_{y}, \; n_{z}} = \frac{\hbar^{2}}{2m}( k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2}) = \frac{\hbar^{2}}{2m}( k^{2} )$

 

우리는 이처럼, 에너지 E와 k의 관계를 E-k relation (분산관계)라 부른다.

(고체물리를 공부함에 있어 정말정말 중요한 부분이다)

 

 

 

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k의 의미

여기서 의문이 드는 것은, 앞서 도입한 k가 무엇인가 라는 거다.

 

수식적으로 보면, 눈치가 빠른 분들은 금방 알아차리겠지만,

파동에서 wavevector (파수벡터)를 의미함을 알 수 있다.

즉, Free electron의 파동함수의 wavevector라는 것이다.

 

해에서 볼 수 있듯, k는 양자화 되어있는데 (불연속적인데)

이는, k가 오비탈의 양자수 처럼 허용된 state 를 의미한다는 것이다.

즉, Free electron이 불연속적으로, 어떤 k의 값을 가진 상태로만 존재할 수 있음을 말한다.

 

뿐만 아니라 E-k relation (분산관계) 에서의 k는

Free electron의 에너지에 대응하는 값이라는 것도 알아 볼 수 있다.

 

또, 다른 포스팅에서 언급하겠지만,

k는 Free electron의 momentum을 의미한다. 이는 momentum 연산자를 다뤄보며 추후 언급하겠다.

(사실 고체물리를 공부함에 있어 k가 가진 다양한 의미를 이해하는 것이 핵심이다. 근데, 정말 어렵다...)

 

 

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오늘 포스팅에서는 

자유전자가 격자 내에서 가지는 파동함수, 분산관계, k 의미 등을 다뤄보았다.

 

궁금한 사항이 있다면 언제든 댓글로 남겨주면,

친절히 답변할 수 있도록 하겠다.

 

그럼 안녕~~!!