[양자역학 기초지식] 에르미트 행렬과 브라-켓(bra-ket)표기법 & 해밀토니안의 행렬 표현

양자역학에서의 행렬 표현 - 에르미트 행렬(Hermitian Matrix), 브라-켓(bra-ket)표기법, 해밀토니안(Hamiltonian)

 

오늘 포스팅에서는

양자역학에서 사용되는 에르미트 행렬(Hermitian Matrix)과 브라-캣(bra-ket)표기법을 알아보고,

이를 기초해서 표현한 해밀토니안(Hamiltonian)의 행렬표현을 살펴보고자 한다.

 

각각의 개념에 대해 수학적, 물리적으로 깊게 들어가기 보다는,

양자역학에서, 특히 해밀토니안을 정의할 때, 필요한 개념과 수식에 대해서만 정리해보려 한다.

사실, 수학적으로 선형대수적 내용을 먼저 다루고 설명하는 것이 좋겠다만,

일단 생략하도록 한다.

(정말 죄송할 마음 뿐이라, 시간이 허락하는 대로 추가 설명을 달아두도록 하겠다...)

 

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1. 에르미트 행렬(Hermitian Matrix)

선형대수에서 우리는 standard inner product (dot product) 를 다음과 같이 표기한다.

 

let

$$ v = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \;\;\; w= \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$$

 

$$ v \cdot w = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = (a \quad b) \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = v^t w $$

 

허나, 어떤 행렬이 복소수 성분을 가진다면, 그것의 inner product 를 말하기는 곤란하다.
왜냐하면, inner product를 정의할 때, 반드시 positive definiteness (양의 정부호성)을 만족해야 하기 때문이다.
복소행렬에서 위의 계산을 하면 복소수가 나올 수 있으므로, 정의하기 곤란해진다.
뿐만 아니라, eigenvalue 도 복소수가 나온다면 과학에서 정의하기 곤란한 상황이 생기는 문제가 있다.

 

따라서 inner product를 정의할 수 있는 공간이 제한되는데, Hermitian matrix 는 내적을 정의할 수 있는 공간이다.

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1.1 Adjoint matrix (수반행렬)

어떤 복소행렬 $ A $가 있고, $ A $의 complex conjugate transpose (켤레 전치) 한 행렬을 $ A^* $라 하면, 이 $ A^* $는 adjoint matrix (수반행렬)이라 부른다.

$$ a^{H}_{ij} = a^{*}_{ji} $$

즉,

$$ A^H = (A^*)^T = A^{\dagger} $$

$$ \left( A^{\dagger} \right)^{\dagger} = A $$

여기서 $ \dagger $는 dagger(단검)이라 읽는다.

1.2 Hermitian matrix의 정의 (Self-adjoint)

어떤 complex square matrix $ A $ 가 다음을 만족하면 Hermitian matrix 라고 하고,

$$ A^{\dagger} = A $$

다음을 만족하면 skew-Hermitian matrix라 한다.

$$ A^{\dagger} = -A $$

 

즉, 모든 성분이 실수인 symmetric matrix 는 Hermitian matrix 이다.

 

 

2. bra-ket 표기법

 

 

3. 해밀토니안(Hamiltonian)의 행렬 표현

 

가장 간단한 2-state system 에서만 살펴보았다.

 

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오늘은 양자역학의 행렬표현에서 기본이 되는,

정말 중요한 개념에 대해서만 간략하게 알아보았다.

 

사실 선형대수의 기본 개념들이 많이 등장하는 지라, 처음 본다면 이해하기 어려울 수는 있겠으나,

빠른 시일 이내로 포스팅을 수정하면서 보완설명을 덧붙여보도록 하겠다.

 

 

내용 중 질문 사항이 있다면,

언제든지 댓글로 달아주신다면 친절히 답변하도록 하겠습니다.

감사합니다.