[고체물리] 블로흐 정리 (Bloch Theorem) 유도하기

블로흐 정리 (Bloch Theorem) 유도하기

 

오늘 포스팅에서는

고체물리에서 굉장히 중요한 블로흐 정리를

간략하게 유도하는 방법을 소개해보고자 한다.

 

블로흐 정리의 의미와

증명에 필요한 기본 개념들에 대한 설명은 일단 생략하고 포스팅 하도록 하겠다.

 

---

블로흐 정리 (Bloch Theorem) 유도하기

고체 결정 내부에서 격자의 주기성에 의해 퍼텐셜에 대해 다음이 성립한다.

$$ U(r) = U(r+a) $$

(여기서 a는 격자 간 거리) 여기서 슈뢰딩거 파동방정식을 생각해보자,

$$ \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(r) \right) \psi = E \psi $$

주기성에 의해 ($ U(r) = U(r+a) $) 이므로, 연산자의 성질에 의해 선형대수적으로 다음의 결과는 당연하다.

$$
\psi(x + a) = A \psi(x)
$$

electron density 가 Bravais lattice 에 대해 주기적이라는 사실을 이용하자. 다음과 같은 관계를 갖는다.

$$
\left| \psi(x+a) \right|^2 = \left| \psi(x) \right|^2
$$
여기에 위 식을 대입하면,
$$ \begin{align}
\left| \psi(x+a) \right|^2 &= \left| A \psi(x) \right|^2 \\
&= \left| A \right|^2 \left| \psi(x) \right|^2
\end{align} $$

A가 복소수 변수이므로 다음과 같이 표현할 수 있다. 이를 통해 A 함수를 표현하자.

 

$$ \left| A \right|^2 = 1 $$
$$ A = e^{i p}, \quad p: 임의의 실수 $$

이 때, $ N $ 개의 격자점 (lattice point)을 지나는 lattice translation을 한 뒤 initial lattice point 로 돌아왔다고 하자.
이 때, 파동방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. (처음으로 돌아왔으므로, 당연히 파동함수가 같아야 한다.)

$$ \begin{align}
\psi(x + a) &= A \psi(x) \\
\psi(x + 2a) &= A \psi(x + a) \\
&\vdots \\
\psi(x + Na) &= A \psi(x + (N-1)a)
\end{align} $$

 

$$ \psi(x + Na) = A^N \psi(x) = \psi(x) $$

 

여기서 $ \psi(x + Na) $는 N회 translation후 다시 1번 lattice point로 돌아왔으므로, $ \psi(x) $와 값이 같다.

따라서 다음을 얻는다.

$$ A^N = 1 $$

 

여기에 앞서 정의한 $ A $를 대입하자.
\[ A = e^{i p} \]
\[ A^N = e^{i p N} = 1 \]
$ pN = 2\pi l $, $ l $을 임의의 정수라고 하고, 대입한다면 다음을 얻는다.
\[ A = e^{ \frac{2 \pi i}{N} } \]
\(A\)가 복소수 형식으로 표현되므로, 오일러 공식\(e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)을 이용하여 복소평면에 \(A\)를 나타내자.
\[ z = re^{i \theta} \]
\[ A = e^{ i\frac{2 \pi l}{N} } \]
로부터, $ r =1 $, $ \theta = \frac{ 2 \pi l }{N} $임을 안다.

 

그림과 같이 복소평면 상에 반지름의 길이가 1이고,

각도가 \(2 \pi / N\) 을 가지는 \(A\)를 여러 개 그릴 수 있다. 
당연하게도 \(N\)이 크면 복소평면에 가능한 \(A\)의 개수가 적을 것이고, 

\(N\)이 작다면 가능한 \(A\) 개수가 많다.

앞선 그림에서 \(A\)의 가능한 경우는 반지름 1인 원에서 \(2 \pi / N\)의 각도만큼 계속 돌리면서 그릴 수 있고,
\(A\)가 \(2 \pi\)를 다 돌고 나서부터는 앞서 그린 것들과 중복될 것이다.

중복을 제외한, 가능한 $ l $ : 양의정수, 값들은 다음과 같다:

 

$$ 1 \leq l \leq N $$
따라서 가능한 \(A\)의 개수와 형태는 다음과 같다:
\[ A = e^{\frac{2 \pi }{N}}, \quad e^{\frac{2 \pi \cdot 2}{N}}, \quad e^{\frac{2 \pi \cdot 3}{N}}, \dots, e^{\frac{2 \pi \cdot N}{N}} => N 개 \]

 

앞에서 구한 \( A \)를 아래 식을 처음 식에 대입하자.  
또한, 파동함수가 복소수형태인 \( \psi(x) = e^{i k x} \)로 이루어져 있다고 가정해보자.  
그 뒤, \( k \)의 조건을 찾아주면 되겠다.
\[ \psi(x + a) = e^{i \frac{2\pi l}{N}} \psi(x) \]
\[ e^{i k (x + a)} = e^{i \frac{2 \pi l }{N}} e^{i k x} \]
\[ e^{i k a} = e^{i \frac{2 \pi l}{N}} \]

따라서 다음의 \(k\) 값을 얻는다.

\[ ka = \frac{2 \pi l}{N} + 2 \pi m = 2 \pi \left( m + \frac{l}{N} \right) = \frac{2 \pi}{N} \]
\[ k = \frac{2 \pi l }{Na} \]

 

즉, $ k $는 $ \frac{2 \pi }{Na} $ 를 공차로 갖는 등차수열과 같다.
이를 위에 구한 것에 대입하면 다음을 얻는다.
\[ \psi(x+a) = e^{ i k a} \psi(x) \]

이번엔 파동함수가 \( \psi(x) = e^{ikx} u(x) \). 형태로 이루어져 있다고 생각해보자.  
이 때, \( u(x) \)가 가져야할 조건을 구해보자.  
\( \psi(x) = e^{ikx} u(x) \).을 앞서 구한 식에 대입하자.
\[ \psi(x+a) = e^{i k a} \psi(x) \]
\[ e^{i k (x+a)} u(x+a) = e^{i k a} e^{i k x} u(x) \]
\[ \Rightarrow u(x+a) = u(x) \]

이를 통해 \( u(x) \)는 주기 \( a \)를 가지는 주기함수임을 알아낼 수 있다.  
이것이 Bloch 정리다.

 

---

글 내용 중 질문 사항이 있다면,

언제든지 댓글로 달아주면 친절히 답변할 수 있도록 하겠다.

 

글씨도 이상하고, 내용도 불친절 하긴 하다만, 읽어주셔서 감사합니다.