[통계역학] Fermi-Dirac 분포 함수 유도하기

Fermi - Dirac 분포 함수 정리 및 유도하기

 

첫 전공내용 포스팅이다.

 

사실 지난 포스팅에서는 전공과목 업로드를 위한 티스토리에서 LaTex 수식 편집하는 방법을 올렸는데,

(저번 포스팅은 요기)

 

오늘 포스팅서부터 열심히 전공 공부한 기록을 해보려 한다.

그 첫번째가 바로바로 ~~

 

Fermi-Dirac 분포함수 (distribution function)의 유도과정을 정리해보려 한다.

 

이 함수는 Fermion(전자와 같은 것들)이라는 입자에 적용되는 함수로서,

사실 통계역학 뿐만 아니라, 현대물리, 고체물리 등등,

페르미온을 다루는 어떤 분야건 반드시 중요하게 다루는 함수 되시겠다.

 

사실 유도가 먼저가 아니라,

페르미-디랙 분포가 무엇인지, 앙상블의 개념이 무엇인지, 등등을 먼저 정리해야 하지만,

추후 포스팅을 통해 정리해보는 것으로 하고,

유도과정을 먼저 올리도록 하겠다.

 

그럼 지금부터 시작해보자!!

 

 

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Quantum Particle Statistics: Fermi - Dirac 분포 함수 유도하기

 

grand canonical ensemble 을 생각하자. grand canonical ensemble은 큰 particle reservoir 를 생각하면, V, T, chemical potential 이 동일한 여러개의 system 복사본들을 만들 수 있다. 즉, N 과 E가 다른 복사본들이 가능하다. 

 

 위 그림은 1개의 particle state 를 만들었다. 이 ensemble에서 partition function 은 통계역학적으로 다음과 같이 주어진다.

 

$$Z( \mu , v , T ) = \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } {e ^ { \frac { \mu } { kT } N}  { (\sum _ { E }  e ^ { - \frac { E } { k T} }})}\tag{1}$$

 

 이 때, N 은 각 system 의 입자 수, E 는 각 system 의 에너지를 의미한다.

 boson 과 fermion 을 살펴보기 위해 각 N 과 E에 대해 다음과 같이 이야기할 수 있다.

 

$$N=\sum_{i} {n_{i}} \;\;\;\;\;\;\; E=\sum_{i} {n_{i}\epsilon_{i}} \tag{2}$$

 

-> $\epsilon_{i}$ : 입자에 허용된 에너지 레벨

-> $n_{i}$ : $\epsilon_{i}$ 을 만족하는 입자의 개수

 

이를 위에 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.

 

$ \begin{align} Z( \mu , v , T ) &= \sum _ { i } {e^{\frac { \sum _ {i} {n_{i}\epsilon_{i}-\mu\sum_{i}{n_i}} } { k_{B}T }}} \\ &= \sum _ { n_{1}, \; n_{2} , \; \cdots } {e^{\frac{\mu (n_{1}+n_{2}+\cdots)-(n_{1}\epsilon_{1} + n_{2}\epsilon_{2}+\cdots)}{k_{B} T}}} \\ &= \sum _ { n_{1} = 0 } ^{\infty} {e^{- \frac {\epsilon_{1}- \mu}{k_{B} T}n_{1} }} \times \sum _ { n_{2} = 0 } ^{\infty} {e^{- \frac {\epsilon_{2}- \mu}{k_{B} T}n_{2} }} \times \cdots \\ &= \prod_{i=1}^{\infty} \sum _ { n_{i} = 0 } ^{\infty} {e^{- \frac {\epsilon_{i}- \mu}{k_{B} T}n_{i} }} \end{align}\tag{3}$

 

Pauli exclusion principle 은 2개 이상의 입자가 같은 state가 될 수 없음을 의미한다.

Boson 과 달리 Fermion 은 Pauli exclusion principle 을 따르는 입자이다.

 따라서, system 속 microstate에 위치하는 입자의 개수, 즉 앞선 식 (3) 에서 n_i 들은, 0 또는 1만 가능하다.

 

즉, one particle이 이 system에 존재한다면, 이 입자가 존재할 수 있는 microstate는 1개만 가능하다.

 

위의 식에서 보듯, Pauli exclusion principle 에 따라 Fermion의 n_i 는 0 or 1 만 가능하였다.

이를 앞선 식, (3) 에 대입하자.

 

$\begin{align} Z(\mu,\;V,\;T)\;&=\;\prod_{i=1}^{\infty} \sum _ { n_{i} = 0 } ^{\infty} {e^{- \frac {\epsilon_{i}- \mu}{k_{B} T}n_{i} }} \\ &=\;\prod_{i=1}^{\infty} {(1+e^{- \frac{\epsilon_{i} - \mu}{k_{B} T} })}\end{align}\tag{4}$

 

 이것이 Fermion 의 grand canonical partition function이다.

 

다시 처음으로 돌아오면, grand canonical ensemble 에서 다음과 같은 식이 성립하는데,

 

$$Z(\mu,\;V,\;T)\;=\; \sum _ { m }{e^{- \frac{E_{m}- N_{m}\mu}{k_{B} T}}}$$

$$\left.\begin{matrix} <N>=k_{B}T \frac{\partial\ln{Z}}{\partial \mu} \end{matrix}\right|_{V,\;T}$$

 

양변에 자연로그를 취하고, 위 식에 대입하자.

$$\ln Z=\;\sum _ {i} {\ln(1+e^{- \frac{\epsilon_{i} - \mu}{k_{B} T} })}$$

$$ \begin{align} <N> &\left.\begin{matrix}=k_{B}T \frac{\partial\ln{Z}}{\partial \mu} \end{matrix}\right|_{V,\;T} \\&=k_{B}T \sum_{i} {\frac{1}{k_{B}T}\frac{e^{- \frac{\epsilon_{i} - \mu}{k_{B} T} }}{1+e^{- \frac{\epsilon_{i} - \mu}{k_{B} T} }}} \\ &=\sum_{i} {\frac{1}{1+e^{\frac{\epsilon_{i} - \mu}{k_{B} T} }}} \end{align}$$

 

$$ \therefore <N> =\sum_{i} {\frac{1}{1+e^{\frac{\epsilon_{i} - \mu}{k_{B} T} }}}\tag{5}$$

 

 이는 ensemble 에서 정의한 각 system의 particle 개수 N 의 평균이다. 이제,  state를 차지하는 입자의 평균을 알아보자.

 

i 번 째 state 에 있는 ensemble average는 partition function Z의 정의에 따라 다음과 같이 쓸 수 있다. (1) 식 사용.

 

$$ < n_{i} > = \frac{\sum _ { N = 0 } ^ { \infty } {e ^ { \frac { \mu } { kT } N}{ (\sum _ { E }e ^ { - \frac { E } { k T} }})} }{ \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } {e ^ { \frac { \mu } { kT } N}{ (\sum _ { E }e ^ { - \frac { E } { k T} }})}} $$

 

여기서 분모는 partition function Z 임을 알 수 있다.

Z 를 $ \epsilon_{i} $ 에 대해 편미분 해보자.

 

$$ \begin{align} \frac{\partial Z}{\partial \epsilon _ {i}} &= \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } {e ^ { \frac { \mu } { kT } N} } \times \frac{\partial} {\partial \epsilon _ {i}} e ^ { - \frac { 1 } { k T} \sum n_{i}{\epsilon _ {i}}} \\ &= \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } {e ^ { \frac { \mu } { kT } N} } (- \frac { n_{i} } { k T}) \times e ^ { - \frac { 1 } { k T}\sum n_{i}{\epsilon _ {i}}} \end{align} $$

 

좌측 하단의 $ e ^ { - \frac { 1 } { k T}\sum n_{i}{\epsilon _ {i}}} = \sum e ^ {-\frac { E } { k T}} $ 으로 바꿔주면,

이는, 바로 위의 식 분자에 - 1/k_B T 를 곱한것과 결과가 같다.

따라서 위의 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$ \begin{align}< n_{i} > &= -kT \frac{1}{Z}\frac{\partial Z }{\partial \epsilon_{i}} \\ &= -kT \frac{\partial \ln Z }{\partial \epsilon_{i}} \end{align} $$

 

여기서, 식 (4)를 위에 대입해서 <n_i> 를 구하자.

 

$$ \ln Z=\sum \ln (1+e^{- \frac{\epsilon_{i} - \mu}{k_{B} T} }) $$

$$ \begin{align}-k_{B}T \frac{\partial \ln Z}{\partial \epsilon _ {i}}&= -k_{B}T \frac {- \frac{1}{k_{B}T}e^{- \frac{\epsilon_{i} - \mu}{k_{B} T} }}{1+e^{- \frac{\epsilon_{i} - \mu}{k_{B} T} }} \\ &= \frac{1}{e^{ \frac{1}{k_{B} T} (\epsilon_{i} - \mu)}+1}\end{align} $$

 

$$ \therefore < n_{i} > = \frac{1}{e^{ \frac{1}{k_{B} T} (\epsilon_{i} - \mu)}+1} $$

 

 

 이것이 n_i 의 평균, 즉, state occupancy 가 된다. 

 검증해보자. N과 $ n_{i} $ 의 관계를 살펴보자.

 

$$ < N > = \sum _{i} < n_{i} > $$ 

 

 처음의 식 (2) 를 참고하자. 이 결과가 타당함을 알 수 있다.

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오늘은 통계역학에서

정말 중요한 Fermi-Dirac 분포함수의 유도 과정에 대해 알아보았다.

 

이 분포함수는 Fermion (전자와 같은 것들)에 적용되는 분포함수로,

통계역학 뿐만 아니라, 양자역학, 고체물리 등 페르미온을 서술하는 곳 어디든

안 쓰이는 곳이 없을 정도로 자주 쓰이는 것이므로,

꼭 그 의미와 증명과정을 익혀 두도록 하자.

 

내 손글씨로 정리한 굿노트 파일이 있다.

혹시나 pdf 손글씨로 확인하고 싶다면, 아래에서 다운받아 보자.

(글씨가 상당히 더러운 것은 양해 부탁한다....)

 

글 내용 중 질문 사항이 있다면,

언제든지 댓글로 달아주면 정말 감사하겠다.

 

그럼 다음 포스팅으로 돌아오겠다.

모두들 안녕~~!!