3. 모어 원(Mohr's Circle)과 응력(Stress)
오늘 포스팅에서는 응력 텐서의 변환을 대단히 직관적으로 표현할 수 있는, 모어 원(Mohr's Circle)을 다뤄보도록 하겠다. 응력과 텐서에 대한 개념을 매우 많이 사용할 것이니, 읽다가 이해가 가지 않는 부분이 있다면, 앞선 2.Stress 포스팅을 읽어보기를 권장한다.
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요새 대단히 바쁜 관계로, 몇몇 내용들은 설명이 부실하거나, 아예 식만 달랑 올려두었다. 시간이 허락하는 대로, 부연설명을 꼭 추가할 터이니, 양해를 부탁한다.
그럼 시작해보자~!!
1. Review - 응력 텐서의 변환 (Transformation of Stress Tensor)
2.2 포스팅에서 응력 텐서의 변환(Transformation of Stress Tensor)에 대해 대단히 자세히 살펴보았다. 텐서란 좌표계가 바뀌더라도 변하지 않는 물리량으로, 단지 좌표계를 변환하면서(회전하면서) 표현하는 방법이 달라지게 될 뿐이다. 응력(Stress) 역시 2차 텐서이므로, 좌표계를 변환시켜서 표현하는 방법을 바꿀 수 있는데, 이를 응력 텐서의 변환이라 불렀다. 아래 그림을 참고하자.
응력텐서의 변환을 통해 바뀐 응력 텐서의 표현은 아래와 같이 주어졌다. 2.2 포스팅에서 자세히 설명해두었으므로, 이해가 가지 않는 부분이 있다면, 꼭 읽어보도록 하자.
$$ \boldsymbol{\sigma}' = \mathbf{A} \boldsymbol{\sigma} \mathbf{A}^{\mathsf{T}} $$
$$ \sigma'_{ij} = a_{im}a_{jn}\sigma_{mn} \quad $$
$$ \begin{bmatrix}
\sigma'_{11} & \sigma'_{12} & \sigma'_{13} \\
\sigma'_{21} & \sigma'_{22} & \sigma'_{23} \\
\sigma'_{31} & \sigma'_{32} & \sigma'_{33}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{bmatrix} $$
Where,$ A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix} $
2. 2D 모어 원(2-Dimensional Mohr's Circle)
2.1 응력 텐서의 변환을 통한 모어 원의 이해
모어 원은 2D 뿐만 아니라, 3D에서도 그릴 수 있지만, 2D 어 원을 먼저 설명하는 것이 이해에 더욱 도움이 될 것 같아, 2D 에서 먼저 설명하도록 하겠다.
1번의 응력 텐서의 변환을 2D에서 해보도록 하자. Transformation matrix $ A $ 에 삼각함수를 대입하면, $ A =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix} $ 이 되고, 이를 위 응력 변환식에 대입하면 ,
$$ \begin{bmatrix}
\sigma'_{xx} & \sigma'_{xy} \\
\sigma'_{xy} & \sigma'_{yy}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\
\sigma_{xy} & \sigma_{yy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix} $$
이 되고, 각 성분을 계산하여 정리하면, 다을 얻는다.
$$ \sigma'_{xx} = \sigma_{xx}\cos^2\theta + \sigma_{yy}\sin^2\theta + 2\sigma_{xy}\sin\theta\cos\theta $$
$$ \sigma'_{yy} = \sigma_{xx}\sin^2\theta + \sigma_{yy}\cos^2\theta - 2\sigma_{xy}\sin\theta\cos\theta $$
$$ \sigma'_{xy} = \sigma'_{yx} = (\sigma_{yy} - \sigma_{xx})\sin\theta\cos\theta + \sigma_{xy}(\cos^2\theta - \sin^2\theta) $$
삼각함수 식을 사용해서 정리해보자. 다음을 얻는다.
$$ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2} \\ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos2\theta}{2} \\ \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \\ \cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $$
를 대입해서 정리하면,
$$ \sigma'_{xx} = \frac{\sigma_{xx} + \sigma_{yy}}{2} + \frac{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}}{2}\cos2\theta + \sigma_{xy}\sin2\theta $$
$$ \sigma'_{yy} = \frac{\sigma_{xx} + \sigma_{yy}}{2} - \frac{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}}{2}\cos2\theta + \sigma_{xy}\sin2\theta $$
$$ \sigma'_{xy} = -\frac{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}}{2}\sin2\theta + \sigma_{xy}\cos2\theta $$
평균응력 $ \sigma_{m} = \frac{\sigma_{xx} + \sigma_{yy}}{2} $을 이용하여 위 식을 합쳐보자.
$$ \begin{align*} (\sigma'_{xx} - \sigma_{m})^2 + (\sigma'_{xy})^2 &= \left(\frac{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}}{2}\cos2\theta + \sigma_{xy}\sin2\theta\right)^2 + \left(-\frac{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}}{2}\sin2\theta + \sigma_{xy}\cos2\theta\right)^2 \\ &= \left(\frac{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}}{2}\right)^2 + \sigma_{xy}^2 \\ &= R^2 \end{align*} $$
을 얻는다. 위 식에 $ \sigma'_{xx} $, $ \sigma'_{yy} $ 중 어느 것을 대입해도 결과는 같다. 위 식을 살펴보면, 원의 방정식 형태라는 것을 살펴볼 수 있다. 따라서, 아래와 같이 좌표평면에 원을 그릴 수 있게 된다.
원점: $ \sigma_{m} = \frac{\sigma_{xx} + \sigma_{yy}}{2} $
반지름: $ R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}}{2}\right)^2 + \sigma_{xy}^2} $
이것을 모어 원(Mohr's Circle)이라 부른다.
2.2 Traction vector 를 통한 모어 원의 이해
2.1에서 응력변환 식을 이용해 수식적으로 간단하게 모어 원을 그려 보았으나, 이번에는 Traction vector를 통해서 2.1의 결과를 도출해보자. (그냥 끝내면 시시하니까...) 2.1 포스팅에서, Traction vector를 정의하고, 그 개념을 자세하게 설명해 두었다. 이하 내용들은 2.1 포스팅에서 언급한 방법과 완전히 똑같은 방법으로 어 원을 유도하게 되므로, 혹시나 이해가 안되는 부분이 있다면 꼭, 읽어보도록 하자.
아래 그림처럼 2D 에서 Traction vector를 생각할 수 있다.
이 때,
$$ \mathbf{T}^{'}_{x} \, dA - \mathbf{T}_{x} \, dA_x - \mathbf{T}_{y} \, dA_y $$
를 만족하고,
$$ dA_x = \cos{\theta} dA $$
$$ dA_y = \sin{\theta} dA $$
을 대입하자. 그럼 다음을 얻는다.
$$ \mathbf{T}^{'}_{x} = \mathbf{T}_{x} \cos{\theta}+ \mathbf{T}_{y} \sin{\theta} $$
여기서, Traction vector의 성분을 분석해보자. 아래와 같다.
$$ \mathbf{T}^{'}_{x} = (\sigma'_{xx} \cos{\theta}-\tau'_{xy}\sin{\theta}) \mathbf{i} + (\sigma'_{xx} \sin{\theta}+\tau'_{xy}\cos{\theta}) \mathbf{j} $$
$$ \mathbf{T}_{x} = \sigma_{xx} \mathbf{i} + \tau_{xy} \mathbf{j} $$
$$ \mathbf{T}_{y} = \tau_{yx} \mathbf{i} + \sigma_{yy} \mathbf{j} $$
합력이 똑같아야 하므로,
x-방향 성분: $ \sigma'_{xx} \cos{\theta} - \tau'_{xy} \sin{\theta} = \sigma_{xx} \cos{\theta} + \tau_{yx} \sin{\theta}$
y-방향 성분: $ \sigma'_{xx} \sin{\theta} + \tau'_{xy} \cos{\theta} = \tau_{xy} \cos{\theta} + \sigma_{yy} \sin{\theta} $
으로부터, 위 식을 정리하면, 아래와 같은 식을 얻고,
$$ \sigma'_{xx} = \frac{\sigma_{xx} + \sigma_{yy}}{2} + \frac{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}}{2}\cos2\theta + \sigma_{xy}\sin2\theta $$
$$ \sigma'_{xy} = -\frac{\sigma_{xx} - \sigma_{yy}}{2}\sin2\theta + \sigma_{xy}\cos2\theta $$
이는 위에서 본 것과 같다.
3. 3D 어 원(3-Dimensional Mohr's Circle)
$$ \begin{align*}
\sigma_n &= \sigma_1 n_1^2 + \sigma_2 n_2^2 + \sigma_3 n_3^2, \\
1 &= n_1^2 + n_2^2 + n_3^2, \\
\tau_n^2 + \sigma_n^2 &= \sigma_1^2 n_1^2 + \sigma_2^2 n_2^2 + \sigma_3^2 n_3^2.
\end{align*} $$
Augmented Matrix
\[
\begin{bmatrix}
\sigma_1 & \sigma_2 & \sigma_3 & | & \sigma_n \\
1 & 1 & 1 & | & 1 \\
\sigma_1^2 & \sigma_2^2 & \sigma_3^2 & | & \tau_n^2 + \sigma_n^2 \\
\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{aligned}
n_1^2 &= \frac{\tau_n^2 + (\sigma_n - \sigma_2)(\sigma_n - \sigma_3)}{(\sigma_1 - \sigma_2)(\sigma_1 - \sigma_3)} \geq 0, \\
n_2^2 &= \frac{\tau_n^2 + (\sigma_n - \sigma_3)(\sigma_n - \sigma_1)}{(\sigma_2 - \sigma_3)(\sigma_2 - \sigma_1)} \geq 0
\end{aligned}
\]
\[
n_3^2 = \frac{\tau_n^2 + (\sigma_n - \sigma_1)(\sigma_n - \sigma_2)}{(\sigma_3 - \sigma_1)(\sigma_3 - \sigma_2)} \geq 0
\]
\(\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3\)라 가정, \((n_i)^2 \geq 0\) 을 만족,
$$ \begin{align*}
\tau_n^2 + (\sigma_n - \sigma_2)(\sigma_n - \sigma_3) &\geq 0 \quad (\sigma_1 - \sigma_2 > 0 \text{ and } \sigma_1 - \sigma_3 > 0), \\
\tau_n^2 + (\sigma_n - \sigma_3)(\sigma_n - \sigma_1) &\leq 0 \quad ( \sigma_2 - \sigma_3 > 0 \text{ and } \sigma_2 - \sigma_1 < 0), \\
\tau_n^2 + (\sigma_n - \sigma_1)(\sigma_n - \sigma_2) &\geq 0 \quad ( \sigma_3 - \sigma_1 < 0 \text{ and } \sigma_3 - \sigma_2 < 0)
\end{align*} $$
$$ \begin{align*}
\tau_n^2 + \left[\sigma_n - \tfrac{1}{2}(\sigma_2 + \sigma_3)\right]^2 &\geq \left(\tfrac{1}{2}(\sigma_2 - \sigma_3)\right)^2, \\
\tau_n^2 + \left[\sigma_n - \tfrac{1}{2}(\sigma_1 + \sigma_3)\right]^2 &\leq \left(\tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_3)\right)^2, \\
\tau_n^2 + \left[\sigma_n - \tfrac{1}{2}(\sigma_1 + \sigma_2)\right]^2 &\geq \left(\tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_2)\right)^2.
\end{align*} $$
