오늘 포스팅은 지난 포스팅에 이어 응력 텐서(Stress Tensor)에 대해 더 자세히 알아보도록 하겠다.
지난 포스팅에서는 응력과 텐서의 개념과 코시 응력 텐서 및 Traction vector에 대해 대단히 자세히 알아보았으니, 이 글을 읽기 전에 꼭 읽어보기를 권장한다.
[기계적 거동] 2.1 응력(Stress)과 코시 응력 텐서(Cauchy Stress Tensor)
2.1 응력(Stress)과 코시 응력 텐서(Cauchy Stress Tensor)1. 응력(Stress)의 개념 응력이란, 어떤 물질 에 외력이 가해질 때, 내부에 발생하는 단위 면적당 힘을 말한다. 따라서 단위는 Pa(파스칼) 혹은
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오늘은 지난 포스팅에 이어 응력 텐서의 변환(Transformation of Stress Tensor), 주응력(Principal Stress), 최대 전단응력(Maximum Shear Stress), Deviatoric Stress까지 다뤄보려고 한다. (갈 길이 멀다...ㅠㅠ, 최대 전단 응력과 Deviatoric Stress는 내용이 길어지는 관계로 다음포스팅으로 넘겼다. 2.3을 확인해보자)
그럼 시작해보자!!
4. 응력 텐서의 변환 (Transformation of Stress Tensor)
앞선 포스팅에서 언급했 듯, 텐서란 좌표계가 바뀌더라도 변하지 않는 물리량을 의미한다고 하였다. 단지 좌표계가 바뀌면서 표현하는 방법이 달라졌을 뿐, 본질은 변하지 않는 것이라 이해할 수 있다. 조금 더 물리적으로 엄밀하게는 " 좌표변환하에서 특정한 변환법칙(transformation law)을 따르는 양"으로 정의한다고 한다.
응력(Stress) 역시 2차 텐서이므로, 좌표계를 변환시켜서 표현하는 방법을 바꿀 수 있다. 이것을 응력 텐서의 변환(Transformation of Stress Tensor)라 부르고, 그 과정은 아래 그림4과 같다.
좌표계가 회전하면서, x', y', z'으로 바뀌었을 뿐만 아니라, 응력도 $ \sigma' $으로 바뀌었다. 이 크기는, 아래의 식을 통해서 얻어진다.
$$ \boldsymbol{\sigma}' = \mathbf{A} \boldsymbol{\sigma} \mathbf{A}^{\mathsf{T}} $$
$$ \sigma'_{ij} = a_{im}a_{jn}\sigma_{mn} \quad $$
$$ \begin{bmatrix}
\sigma'_{11} & \sigma'_{12} & \sigma'_{13} \\
\sigma'_{21} & \sigma'_{22} & \sigma'_{23} \\
\sigma'_{31} & \sigma'_{32} & \sigma'_{33}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{bmatrix} $$
위 세 식은 모두 같은 식이고, 표현만 다르다. 두 번째 식은 아인슈타인 표기법(직전 포스팅 참고), 세 번째는 행렬 형식으로 풀어 쓴 것이다. 이해하기가 대단히 어렵기는 하지만, 아인슈타인 표기법을 바탕으로 하나하나 대입해보면, 비교적 쉽게 이해할 수 있다.
이때, 행렬 A는 $ A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix} $ 으로 주어지는데, $ a_{ij} $ 는 그림에서 알 수 있듯이, 변환된 $ i $ 좌표축과 원래의 $ j $ 좌표축 사이 각도의 cos 값이다. 표기가 대단히 헷갈릴 수 있으니, 유의하도록 하자.
여하튼, 이렇게 행렬의 곱셈을 통해서, 간단하게 응력 텐서의 변환을 할 수가 있다. 중요한 부분은, 응력텐서의 좌표축을 변환하더라도 응력 자체가 변한 것이 아니라는 점, 단지 좌표축이 바뀜으로서 표현하는 방법이 달라졌다는 것을 꼭 기억하도록 하자. 바로 밑의 주응력을 계산할 때, 혹은 Mohr's circle을 다룰 때 다시 언급하도록 하겠다.
5. 주응력 (Principal Stress)
주응력(Principal Stress)이란 수직 응력(Normal Stress)이 최대가 되는 면의 방향에서의 수직 응력을 말한다. 즉, 전단응력(Shear Stress)가 존재하지 않고, 수직 응력만 존재하는 상태라고 생각할 수 있다. 따라서, traction vector $ \mathbf{T^{(\mathbf{n})}} $가 주응력의 normal vector $ \mathbf{n} $과 방향이 같아야 함을 의미한다!! (대단히 중요한 개념이다)
그러므로, 어떤 상수 $ \lambda $를 사용하여 아래와 같이 식을 작성할 수 있다. (앞선 포스팅에서부터 $ \mathbf{T^{(\mathbf{n})}} $를 1x3 matrix로 사용해서 transpose를 해주었다)
$$ \mathbf{T^{(\mathbf{n})}}^{T} = \sigma \cdot \mathbf{n} = \lambda \mathbf{n} $$
어라? 어디서 많이 본 것 같지 않은가? 선형대수에서 너무나 자주 보았던 eigenvalue 및 eigenvector식이라 할 수 있다!! 여기서 $ \lambda $는 eigenvalue, $ \mathbf{n} $은 eigenvector가 되겠다. $ \mathbf{n} $ 은 normal vector로 그 크기가 1이므로(대단히 중요하다. 이유는 뒤에서 설명하겠다), eigenvalue인 $ \lambda $만 구한다면, 우리의 목적인 traction vector의 크기, 즉 주응력(principal stress)을 구할 수 있다!! 그럼 계산해보자.
Characteristic Equation
$$ \begin{vmatrix}
\sigma_{11} - \lambda & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} - \lambda & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} - \lambda
\end{vmatrix} = 0 $$
으로부터 위 식을 풀면,
$$ \lambda^3 - I_1 \lambda^2 + I_2 \lambda - I_3 = 0 $$
을 얻고, 이때의 계수 $ I_1 $ , $ I_2 $, $ I_3 $를 계산하면 다음과 같다.
$$ \begin{align}
I_1 &= \sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33} = \sigma_{kk} = \text{tr}(\boldsymbol{\sigma}) \\
I_2 &= \begin{vmatrix}
\sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{vmatrix}
+ \begin{vmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{13} \\
\sigma_{31} & \sigma_{33}
\end{vmatrix}
+ \begin{vmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22}
\end{vmatrix} \\
&= \sigma_{11}\sigma_{22} + \sigma_{22}\sigma_{33} + \sigma_{11}\sigma_{33} - \sigma_{12}^2 - \sigma_{23}^2 - \sigma_{31}^2 \\
&= \frac{1}{2}\left(\sigma_{ii}\sigma_{jj} - \sigma_{ij}\sigma_{ji}\right) = \frac{1}{2}\left[\left(\text{tr}(\boldsymbol{\sigma})\right)^2 - \text{tr}\left(\boldsymbol{\sigma}^2\right)\right] \\
I_3 &= \det(\sigma_{ij}) = \det(\boldsymbol{\sigma}) \\
&= \sigma_{11}\sigma_{22}\sigma_{33} + 2\sigma_{12}\sigma_{23}\sigma_{31} - \sigma_{12}^2\sigma_{33} - \sigma_{23}^2\sigma_{11} - \sigma_{31}^2\sigma_{22}
\end{align} $$
즉, 저 방정식을 풀면 eigenvalue를 구할 수 있게 되고, 어떤 면에서 수직성분의 stress만 존재할 때, 즉 주응력의 크기를 구할 수 있게 된다!!
또한 앞선 포스팅에서 텐서에는 불변량(Invarient)이 존재한다고 하였는데, 위 식은 좌표축을 아무리 변환하더라도 $ I_1 $ , $ I_2 $, $ I_3 $은 원래의 텐서 성분 $ \sigma_{ij} $로 구성되어 있어 그 크기가 변하지 않으므로, 이 세 계수가 바로 불변량(Invarient)가 된다.
주응력의 의미: Stress Tensor의 Transformation
그런데, 한 가지 의문이 든다. eigenvalue를 구한 방법까지는 이해하겠는데, 과연 저런 조건을 만족하는 면이 항상 존재할 수 있을까? 그리고, 특성방정식을 풀면, 세 쌍의 eigenvalue와 eigenvector가 나오게 될텐데, 이 것이 의미하는 바가 뭘까?
왜인지, 대단히 중요한 성질을 이용하지 않은 것 같은 그런.... 느낌적인 느낌이 든다. 우리가 놓친 부분은 바로, 대칭행렬에서의 고유값분해를 이용한 대각화(eigendecomposition)이다. 우리는 선형대수를 공부하면서 다음의 성질을 공부하였다.
어떤 $ n \times n $ 크기를 갖는 실수 대칭 행렬($ A = A^T $)은
1. 실원소(real-valued) 대칭행렬은 항상 고유값 대각화가 가능하다.
2. n개의 eigenvector를 갖고, 그 고유벡터들은 서로 직교(orthogonal)하여, 직교행렬(orthogonal matrix)로 대각화가 가능하다.
얼레? 우리가 다루고 있는 Stress Tensor는 3x3 크기를 갖는 실수 대칭행렬이다! 따라서 위에서 구한 eigenvector와 eigenvalue를 이용하여 고유값분해를 이용한 대각화(eigendecomposition)을 하면, 다음이 성립한다.
$$ \sigma = PDP^{-1} $$
$$ D =
\begin{bmatrix}
\lambda_{1} & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{2} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{3}
\end{bmatrix} $$
$$ P = \begin{bmatrix}
\mathbf{n_1} & \mathbf{n_2} & \mathbf{n_3} \end{bmatrix} $$
여기서 행렬 $ D $ 안의 $ \lambda $는 위에서 구한 eigenvalue, 즉 주응력이 되고, 행렬 $ P $ 안의 $ n_1 $, $ n_2 $, $ n_3$ 은 그 때의 eigenvector, normal vector가 된다.
위의 2번을 사용하면, normal vector $ n_1 $, $ n_2 $, $ n_3$ 은 서로 직교(orthogonal)하는데, 이들은 어떤 면에 수직한 normal vector이므로, 그 크기가 1이기 때문에, 정규화(normalization)가 이미 되어 있다. 따라서 이들은 정규직교벡터(orthonormal vector)들이다. 따라서 직교행렬(orthogonal matrix)의 정의에 따라 행렬 $ P $는 직교행렬이 된다.
직교행렬의 성질 중에는 다음과 같은 것이 있다.
어떤 직교행렬(orthogonal matrix) $ P $ 에 대해, 전치행렬은 역행렬과 같다.
즉, $$ P^{-1} = P^T $$
따라서, 대각화한 응력 텐서에 대해 다음과 같은 조작을 할 수 있다.
$$ \sigma = PDP^{-1} $$
$$ D = P^{-1} \sigma P = P^T \sigma P$$
$$ \begin{equation*}
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{n}_1^\top \\
\mathbf{n}_2^\top \\
\mathbf{n}_3^\top
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{n}_1 & \mathbf{n}_2 & \mathbf{n}_3
\end{bmatrix}
\end{equation*} $$
어라? 어디서 많이 본 듯한 형태이지 않은가?? 바로, 위의 4번에서 응력텐서의 변환식과 그 형태가 매우 닮았다. 다시 한 번 살펴보자.
$$ \boldsymbol{\sigma}' = \mathbf{A} \boldsymbol{\sigma} \mathbf{A}^{\mathsf{T}} $$
$$ \begin{bmatrix}
\sigma'_{11} & \sigma'_{12} & \sigma'_{13} \\
\sigma'_{21} & \sigma'_{22} & \sigma'_{23} \\
\sigma'_{31} & \sigma'_{32} & \sigma'_{33}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{bmatrix} $$
형태의 차이가 생기는 부분은 행렬 $ A $부분, 즉 $ \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix} $ 와 $ \begin{bmatrix}
\mathbf{n}_1^\top \\
\mathbf{n}_2^\top \\
\mathbf{n}_3^\top
\end{bmatrix} $이다.
A 행렬의 각 행을 살펴보면, 바뀐 좌표계의 $ i \;(=1, 2,3)$ 축이 원래 좌표계의 1, 2, 3 축과 이루는 각도의 cos값이다. 어라? 그러면 $ \mathbf{n}_i^\top $ 벡터를 원래 좌표계의 1, 2, 3축의 성분으로 본다면 정확하게 일치하지 않는가?? 즉, $ \mathbf{n}_i^\top $ 로 구성된 $ P^T $ 행렬은 응력텐서의 변환에서의 $ A $ 행렬과 일치하게 된다.
따라서, 응력텐서의 대각화를 통해 얻어진 식,
$$ \begin{equation*}
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{n}_1^\top \\
\mathbf{n}_2^\top \\
\mathbf{n}_3^\top
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{n}_1 & \mathbf{n}_2 & \mathbf{n}_3
\end{bmatrix}
\end{equation*} $$
의 의미는, 식 왼쪽의 trace를 제외한 나머지 성분인 Shear Stress를 0으로 만들고, Normal Stress eigenvalue $ \lambda $만남도록 응력텐서를 적절히 변환하여 얻어질 수 있다는 소리다. 그러므로, 응력텐서의 characteristic equation을 통해 구한 eigen value는 언제나 주응력(Principal Stress), 이를 만족하는 좌표계는 언제나 존재한다는 사실을 알 수 있다.
주응력은 통상적으로 $ \sigma_I $. $ \sigma_{II} $. $ \sigma_{III} $로 표기한다. 따라서 이 때의 응력 텐서는 다음과 같이 trace만을 남기고 나머지 Shear stress 부분을 모두 0으로 하는행렬로서 표현된다.
$$ \boldsymbol{\sigma} =
\begin{bmatrix}
\sigma_I & 0 & 0 \\
0 & \sigma_{II} & 0 \\
0 & 0 & \sigma_{III}
\end{bmatrix} $$
원래의 응력텐서는 6개의 독립적인 원소로 표현되었지만(대칭행렬), 주응력을 사용하면 trace의 3개의 원소로만 표현이 가능하다는 사실을 알 수 있다. 대단히 강력하고 중요한 성질이 되겠다.
불변량(Invariant)
위의 characteristic equation의 계수인, 좌표축을 아무리 변환하더라도 그 크기가 변하지 않는 불변량(Invarient)를 구했다. 불변량은 주응력 상태로 구하면, Shear stress 가 모두 0이 되므로, 대단히 편리하게 정리할 수 있다. 위에서 구한 불변량 $ I_1 $ , $ I_2 $, $ I_3 $ 에, 주응력 $ \sigma_I $. $ \sigma_{II} $. $ \sigma_{III} $ 을 대입하면 다음과 같디.
$$ \begin{align*}
I_1 &= \sigma_{\mathrm{I}} + \sigma_{\mathrm{II}} + \sigma_{\mathrm{III}}, \\
I_2 &= \sigma_{\mathrm{I}}\sigma_{\mathrm{II}} + \sigma_{\mathrm{II}}\sigma_{\mathrm{III}} + \sigma_{\mathrm{I}}\sigma_{\mathrm{III}}, \\
I_3 &= \sigma_{\mathrm{I}}\sigma_{\mathrm{II}}\sigma_{\mathrm{III}}
\end{align*} $$
오늘 포스팅은 여기서 마친다. 다음 포스팅에서는 못다한 최대 전단 응력(Maximum Shear Stress)와 편향 응력(Deviatoric Stress)을 비롯한 다양한 응력 상태들을 다뤄보도록 하겠다.
혹여 궁금한 부분이 있다면, 댓글로 남겨주시면 정말 감사하겠습니다.
시간이 허락하는대로 최대한 친절히 답변해도보도록 할게요!
그럼 다음에 만나요~ 안녕~!
참고문헌
[1] Callister, W. D., and Rethwisch, D. G. Materials Science and Engineering: An Introduction. 9th ed., Wiley, 2013.
[2] Dieter, G. E. Mechanical Metallurgy. SI Metric ed., McGraw-Hill, 1986.
[3] Courtney, T. H. Mechanical Behavior of Materials. 2nd ed., McGraw-Hill, 2000.
