[기계적 거동] 2.3 최대 전단응력과 편향응력, 다양한 응력 상태들 (Maximum Shear Stress, Deviatoric Tensor, Various Type of Stress State)

2.3 최대 전단응력과 다양한 응력 텐서들 (Maximum Shear Stress, Various Type of Stress State)

지난 두 포스팅에서는 응력 텐서(Stress Tensor)에 대해 알아보았는데, 오늘 포스팅에서 마무리를 지어보려고 한다.

2.1 에서는 응력과 텐서의 개념과 코시 응력 텐서 및 Traction vector에 대해,

2.2 에서는 응력 텐서의 변환과 주응력에 대해 대단히 자세히 알아보았으니, 이 글을 읽기 전에 꼭 읽어보기를 권장한다.

2025.04.13 - [전공 공부정리/Mechanical Behavior(기계적 거동)] - [기계적 거동] 2.1 응력(Stress)과 코시 응력 텐서(Cauchy Stress Tensor)

[기계적 거동] 2.1 응력(Stress)과 코시 응력 텐서(Cauchy Stress Tensor)

2025.04.13 - [분류 전체보기] - [기계적 거동] 2.2 응력변환과 주응력(Transformation of Stress Tensor, Principal Stress)

[기계적 거동] 2.2 응력변환과 주응력(Transformation of Stress Tensor, Principal Stress)

 

오늘 포스팅에서는 최대 전단응력(Maximum Shear Stress)과 편향 응력(Deviatoric Stress) 등 다양한 응력 텐서들에 대해 알아보고, 응력 텐서 포스팅을 마무리 짓도록 하겠다.

 

그럼 시작해보자!!

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6. 최대 전단응력(Maximum Shear Stress)

 Mohr's circle을 사용하면 대단히 직관적으로 보일 수 있지만, traction vector를 이용하여 최대 전단응력(Maximum Shear Stress)을 알아보도록 하자. Traction vector $ \mathbf{T}^{(\mathbf{n})} $ 를 이용하여 normal stress와 shear stress는 다음과 같이 표현할 수 있음을 우리는 이미 알고 있다.

 

1. Traction vector

$$ \mathbf{T}^{(n)} = \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\sigma} $$

 

2. Normal stress

$$ \begin{align*} \sigma_{\mathrm{n}} &= \mathbf{T}^{(\mathbf{n})} \cdot \mathbf{n} \\
&= T_{i}^{(\mathbf{n})}n_{i} \\
&= \sigma_{ij}n_{i}n_{j}.
\end{align*} $$

3. Shear stress
$$ \begin{align*}
\tau_{\mathrm{n}} &= \sqrt{\left(T^{(\mathbf{n})}\right)^2 - \sigma_{\mathrm{n}}^2} \\
&= \sqrt{T_{i}^{(\mathbf{n})}T_{i}^{(\mathbf{n})} - \sigma_{\mathrm{n}}^2},
\end{align*} $$

where,
$$ \begin{equation*}
\left(T^{(\mathbf{n})}\right)^2 = T_{i}^{(\mathbf{n})}T_{i}^{(\mathbf{n})} = \left(\sigma_{ij}n_{j}\right)\left(\sigma_{ik}n_{k}\right) = \sigma_{ij}\sigma_{ik}n_{j}n_{k}.
\end{equation*} $$

 

이 때, 우리의 목적은 Shear stress $ \tau_{\mathrm{n}} $의 최댓값을 구하고, 이 때의 좌표축 방향을 계산하는 것이다. 위의 Shear stress 식을 제곱하면, 더 간단하게 계산할 수 있을 것으로 보인다. Normal stress의 정의를 대입해보자.

 

$$ \tau_{\mathrm{n}}^2 = \left(T^{(\mathbf{n})}\right)^2 - \sigma_{\mathrm{n}}^2 = \left(T^{(\mathbf{n})}\right)^2 - \left(\mathbf{T}^{(\mathbf{n})} \cdot \mathbf{n}\right)^2 $$

 

보기만해도 대단히 복잡해보인다. 그런데, 우리는 직전 포스팅에서 주응력(Principal Stress)을 공부하였다. 주응력은 행렬의 trace를 제외한 나머지 원소, 즉 shear stress 부분이 모두 0 인 행렬을 가진다. 따라서, traction vector를 주응력을 사용하여 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

 

$$ \begin{equation*}
\mathbf{T}^{(\mathbf{n})} = 
\begin{bmatrix}
n_1 & n_2 & n_3
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
\sigma_{I} & 0 & 0 \\
0 & \sigma_{II} & 0 \\
0 & 0 & \sigma_{III}
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
n_1\sigma_{I} & n_2\sigma_{II} & n_3\sigma_{III}
\end{bmatrix}
\end{equation*} $$

 

여기서 $ \begin{bmatrix} n_1 & n_2 & n_3 \end{bmatrix} $ 은 주응력 좌표계에 대한 어떤 임의의 면의 normal vector를 나타낸 것이다. 즉, 원래의 xyz 좌표계에 대한 성분이 아니라는 것에 유의하도록 하자.

 위에서 간단하게 계산한 $ \mathbf{T}^{(\mathbf{n})} $ 을 위의 Shear stress 식에 대입하도록 하자. 그러면 다음을 얻는다.

 

$$ \begin{equation*}
\left(T^{(\mathbf{n})}\right)^2 = n_1^2 \sigma_{\mathrm{I}}^2 + n_2^2 \sigma_{\mathrm{II}}^2 + n_3^2 \sigma_{\mathrm{III}}^2
\end{equation*} $$

$$ \begin{align*}
\sigma_{\mathrm{n}} &= \mathbf{T}^{(\mathbf{n})} \cdot \mathbf{n} = n_1^2 \sigma_{\mathrm{I}} + n_2^2 \sigma_{\mathrm{II}} + n_3^2 \sigma_{\mathrm{III}}, \\
\sigma_{\mathrm{n}}^2 &= \left(n_1^2 \sigma_{\mathrm{I}} + n_2^2 \sigma_{\mathrm{II}} + n_3^2 \sigma_{\mathrm{III}}\right)^2.
\end{align*} $$

을 만족하므로,

 

$$ \begin{align*}
\tau_{\mathrm{n}}^2 &= \left(n_1^2 \sigma_{\mathrm{I}}^2 + n_2^2 \sigma_{\mathrm{II}}^2 + n_3^2 \sigma_{\mathrm{III}}^2\right) - \left(n_1^4 \sigma_{\mathrm{I}}^2 + n_2^4 \sigma_{\mathrm{II}}^2 + n_3^4 \sigma_{\mathrm{III}}^2 + 2n_1^2n_2^2 \sigma_{\mathrm{I}}\sigma_{\mathrm{II}} + 2n_1^2n_3^2 \sigma_{\mathrm{I}}\sigma_{\mathrm{III}} + 2n_2^2n_3^2 \sigma_{\mathrm{II}}\sigma_{\mathrm{III}}\right) \\
&= n_1^2 \sigma_{\mathrm{I}}^2 (1 - n_1^2) + n_2^2 \sigma_{\mathrm{II}}^2 (1 - n_2^2) + n_3^2 \sigma_{\mathrm{III}}^2 (1 - n_3^2) - 2n_1^2n_2^2 \sigma_{\mathrm{I}}\sigma_{\mathrm{II}} - 2n_1^2n_3^2 \sigma_{\mathrm{I}}\sigma_{\mathrm{III}} - 2n_2^2n_3^2 \sigma_{\mathrm{II}}\sigma_{\mathrm{III}}
\end{align*} $$

 

normal vector $ n $은 그 크기가 1이므로, $ \begin{equation*}
n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 = 1
\end{equation*} $을 만족한다. 따라서, 이를 대입해서 정리하면 다음을 얻는다.

 

$$ \begin{align*}
\tau_{\mathrm{n}}^2 &= n_1^2n_2^2 (\sigma_{\mathrm{I}} - \sigma_{\mathrm{II}})^2 + n_1^2n_3^2 (\sigma_{\mathrm{I}} - \sigma_{\mathrm{III}})^2 + n_2^2n_3^2 (\sigma_{\mathrm{II}} - \sigma_{\mathrm{III}})^2
\end{align*} $$

 

Shear Stress가 예쁘게 잘 정리되었다. 위 식의 최대값과 그 조건을 구하면, 최대 전단 응력(Maximum Shear Stress)와 그 때의 normal vector를 알 수 있게 된다. 최대값은 라그랑주 승수법(Lagrange Multiplier Method)을 이용하여 최적화(Optimization) 문제를 풀어 계산할 수 있다. 다만, 그 과정이 상당히 길고, 계산하기가 대단히 귀찮으므로, 추후에 시간이 생기면 추가하도록 하겠다.

 여하튼, 최적화 문제를 풀게 되면, 아래의 조건에서 최대값이 발생한다.

1. $ n_1 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad n_2 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad n_3 = 0 $ 에서, 전단응력: $ \tau_{\mathrm{max}} = \dfrac{\sigma_{\mathrm{I}} - \sigma_{\mathrm{II}}}{2} $ ($ \sigma_{\mathrm{I}}- \sigma_{\mathrm{II}} $ 평면)
2. $ n_1 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad n_3 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad n_2 = 0 $ 에서, 전단응력: $ \tau_{\mathrm{max}} = \dfrac{\sigma_{\mathrm{I}} - \sigma_{\mathrm{III}}}{2} $ ($ \sigma_{\mathrm{I}}- \sigma_{\mathrm{III}} $ 평면)
3. $ n_2 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad n_3 = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad n_1 = 0 $ 에서, 전단응력: $ \tau_{\mathrm{max}} = \dfrac{\sigma_{\mathrm{II}} - \sigma_{\mathrm{III}}}{2} $ ($ \sigma_{\mathrm{II}}- \sigma_{\mathrm{III}} $ 평면)

 

즉, 다음의 결론을 얻는다. 

•  최대 전단 응력:$ \tau_{\mathrm{max}} = \dfrac{\sigma_{\mathrm{I}} - \sigma_{\mathrm{III}}}{2} $ (주응력 순서: $ \sigma_{\mathrm{I}} \geq \sigma_{\mathrm{II}} \geq \sigma_{\mathrm{III}} $ )
•  방향 조건: 두 방향 코사인은 $ \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} $, 나머지 1개는 0.
•  물리적 의미: 주응력 좌표계에서 한 축을 고정시키고, 45° 회전시킨 평면에서 최대 전단응력 발생.

이 때  45° 회전시킨 평면에서의 Normal stress의 크기는 아래의 식에 위에서 구한 $ n $의 조건들을 대입하면 다음을 얻는다. ( $ \sigma_{\mathrm{I}}- \sigma_{\mathrm{III}} $ 에 대해서만 작성하였다.)

 

$$ \sigma_{\mathrm{n}} = \mathbf{T}^{(\mathbf{n})} \cdot \mathbf{n} = n_1^2 \sigma_{\mathrm{I}} + n_2^2 \sigma_{\mathrm{II}} + n_3^2 \sigma_{\mathrm{III}} $$

 

$$ \sigma_{\mathrm{n}} = \frac{\sigma_{\mathrm{I}} + \sigma_{\mathrm{III}}}{2} $$

 

이러한 상황을 그림으로 그려보면 다음과 같다.

 

(그림은 추후 추가하도록 하겠다.)

 

 

 

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7. 다양한 응력과 텐서들(Various Type of Stress State)

평균응력 (Mean Stress)

 평균 응력은 응력 텐서의 trace 원소들의 평균을 나타낸다. 이전 포스팅의 주응력(Principal Stress)을 공부하며 살펴보았 듯이, trace합(대각합)은 불변량(Invarient)으로, 그 크기가 변하지 않았다. 따라서, 이를  trace 원소의 개수로 나누어 평균을 생각할 수 있는데, 이를 평균 응력(Mean Stress)이라 부른다. 

 아래 식은 평균 응력을 나타었다. $ I_1 $ 은 불변량(이전 포스팅을 참고), $ P $ 는 정수압(Hydrostatic press)을 나타낸다.

 

$$ \sigma_m = \frac{\sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33}}{3} = \frac{\sigma_{\mathrm{I}} + \sigma_{\mathrm{II}} + \sigma_{\mathrm{III}}}{3} = \frac{\sigma_{ii}}{3} = \frac{I_1}{3} = -P $$

 

정수압 응력 (Hydrostatic Stress)

 정수압 응력은 위의 평균응력을 통해 계산할 수 있다. 전단 응력(Shear Stress) 원소들이 0이고, trace의 원소들만 남아 있는 형태다. 위에서 언급한 것과 마찬가지로, 응력 텐서의 대각합은 불변량이므로, 평균 응력을 통해 그 크기를 맞출 수 있게 되는 것이다. 수식은 아래와 같다.

 

$$ \boldsymbol{\sigma} = 
\begin{bmatrix}
P & 0 & 0 \\
0 & P & 0 \\
0 & 0 & P
\end{bmatrix} $$

 

편향응력(Deviatoric Stress)

 편향응력은 원래의 응력 텐서에서 위에서 계산한 정수압 응력을 뺀 값이다. 평균에서 Deviation된 응력이라 이해할 수 있는데, 자세한 이야기는 나중에 Von-Mises Yield Criteria를 다룰 때 설명하도록 하겠다. 식은 아래와 같다.

 

$$ \sigma'_{ij} = 
\begin{bmatrix}
\sigma'_{11} & \sigma'_{12} & \sigma'_{13} \\
\sigma'_{12} & \sigma'_{22} & \sigma'_{23} \\
\sigma'_{13} & \sigma'_{23} & \sigma'_{33}
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33}
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
\sigma_m & 0 & 0 \\
0 & \sigma_m & 0 \\
0 & 0 & \sigma_m
\end{bmatrix} $$

$$ \sigma'_{ij} = \sigma_{ij} - \sigma_m \delta_{ij} $$

 

Uniaxial Tension and Compression Stress

 Uniaxial Tension과 Comperession Stress는 말그대로, Stress가 오로지 1개의 축으로만 작용하고 있을 때의 응력 상태를 의미한다. 응력은 Tension일 때 양수(+), Compression일 때 음수(-)이므로, 아래 식에서 왼쪽이 Uniaxial Tension Stress, 오른쪽이 Uniaxial Compression Stress가 된다.

 

$$ \boldsymbol{\sigma} = 
\begin{bmatrix}
\sigma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \;\;\; \boldsymbol{\sigma} = 
\begin{bmatrix}
-\sigma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} $$

 

순수 전단응력(Pure Shear Stress)

 순수 전단응력이란, 응력 텐서의 trace 원소들이 모두 0인, 오로지 전단 응력 성분만 남아 있을 때의 응력 상태를 의미한다. 유의해야할 것은, 6번의 최대 전단응력과는 완전히 다른 개념이라는 것이다! 최대 전단응력은 텐서의 trace합, 즉 불변량 $ I_1 $ 값이 존재하는 상태에서, 좌표축을 돌려서 최대 전단응력이 되는 상태를 의미하는 것이고, 순수 전단응력이란 이 불변량 $ I_1 = 0 $ 일 때를 의미하는 것이다. Mohr's circle을 이용하면 직관적으로 이해할 수 있는데, 이는 다음 포스팅에서 설명하도록 하겠다. 아래의 수식 이외에도 다양하게 표현될 수 있겠다.

 

$$ \boldsymbol{\sigma} = 
\begin{bmatrix}
0 & \sigma & 0 \\
\sigma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} $$

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오늘 포스팅까지 세 포스팅에 걸쳐서 응력 텐서(Stress Tensor)에 대해 대단히 자세하게 알아보았다. 

다음 포스팅부터는, 앞서 여러번 언급한 무어 원(Mohr's Circle)을 소개해보도록 하겠다.

 

혹여 궁금한 부분이 있다면, 댓글로 남겨주시면 정말 감사하겠습니다.

시간이 허락하는대로 최대한 친절히 답변해도보도록 할게요!

그럼 다음에 만나요~ 안녕~!

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참고문헌

[1] Callister, W. D., and Rethwisch, D. G. Materials Science and Engineering: An Introduction. 9th ed., Wiley, 2013. 

[2] Dieter, G. E. Mechanical Metallurgy. SI Metric ed., McGraw-Hill, 1986. 

[3] Courtney, T. H. Mechanical Behavior of Materials. 2nd ed., McGraw-Hill, 2000